1.2. Тепловое воздействие

Канонические уравнения метода перемещений для раз кинематически неопределимых систем при расчете на тепловое воздействие отличаются от системы уравнений (6.3) только свободными членами и записываются в виде

(1.7)

Физический смысл любого -го уравнения системы (1.7) заключается в отсутствии (равенстве нулю) суммарной реакции в дополнительной связи от действия на основную систему неизвестных и тепловой нагрузки, так как в заданной системе этой дополнительной связи нет. Основная система метода перемещений здесь, естественно, остается той же, что и при расчете на силовое воздействие. Как и ранее, будем предполагать, что температура постоянна по длине каждого стержня, а по толщине нагреваемого элемента изменяется по линейному закону. В этом случае температура по оси стержня (равномерный нагрев) определяется как , а разность (перепад) температур (неравномерный нагрев) – как .

Чтобы вычислить свободные члены , необходимо построить в статически неопределимой основной системе метода перемещений грузовую эпюру моментов от теплового воздействия. Эта эпюра будет состоять из суммы двух эпюр моментов: эпюры от неравномерного нагрева стержней и эпюры от равномерного нагрева стержней, т.е.

(1.8)

Эпюра весьма просто строится в основной системе при помощи п. 9 и 18 табл. 1.1. Построение эпюры несколько сложнее. Для этого надо знать взаимные перемещения концов каждого стержня по перпендикулярному к его оси направлению. В результате равномерного нагрева стержни основной системы удлинятся или укоротятся, а ее узлы, не поворачиваясь, получат поступательные перемещения и займут новое положение, вследствие чего стержни системы искривятся и в них возникнут изгибающие моменты. Удлинение или укорочение -го стержня основной системы определяется по известной из школьного курса физики формуле:

(1.9)

где – коэффициент линейного расширения материала;

– длина нагреваемого стержня.

Из приведенных выше рассуждений следует, что для построения эпюры нужно сначала на отдельном рисунке показать новое положение узлов основной системы с величинами их смещений и изобразить деформации искривленных стержней. После этого в новой схеме основной системы переносим на деформированные стержни эпюры моментов с п. 2 и 13 табл. 1.1, ординаты которых надо умножить на соответствующие значения

Так, для балки, защемленной на одном конце и шарнирно опертой на другом, эпюра моментов представляет собой треугольник с ординатой в защемлении, равной

(1.10)

а для балки, защемленной с двух концов, эпюра моментов будет представлять собой равнобокую перекрученную трапецию с моментами по концам, равными

(1.11)

Напомним, что – взаимное перемещение концов каждого стержня в основной системе по направлению, перпендикулярному к оси стержня.

Полученная таким образом эпюра моментов и есть эпюра

Окончательная грузовая эпюра в основной системе строится по формуле (1.8).

Заметим, что свободные члены можно вычислить не только по единой эпюре , но и отдельно с помощью эпюр и по следующей формуле:

(1.12)

где – реакция во введенной связи от неравномерного нагрева, а – реакция в той же связи от равномерного нагрева.

После вычисления всех коэффициентов, решения системы канонических уравнений и нахождения неизвестных окончательная эпюра изгибающих моментов для заданной системы строится по формуле

(1.13)

Наряду с обычными проверками окончательной эпюры моментов, полученной в результате расчета заданной системы методом перемещений на тепловое воздействие (равенство нулю реакций во введенных связях), возможна проверка перемножением окончательной эпюры с любой единичной или суммарной единичной эпюрой , построенными в основной системе метода перемещений:

(1.14)

Равенства (6.17) следуют из теоремы Бетти о взаимности работ.

Последовательность расчета систем при тепловом воздействии сохраняется такой же, как и при силовом воздействии.

Если в задачах (примерах) толщина нагреваемых элементов не указана, то ее следует принимать для всех элементов равной м.