2.7. Линейные операции над векторами

Пусть вектор задан своими координатами .

Тогда вектор является диагональю прямоугольного параллелепипеда с длинами сторон . Применяя дважды теорему

Пифагора, получим: ,

Пусть заданы точки и .

Вектор , следовательно,

.

Пусть на прямой задан отрезок АВ, где , , и точка , лежащая внутри отрезка АВ. Тогда, если , то говорят, что точка делит отрезок АВ в отношении внутренним образом. Следовательно, и . Отсюда имеем

Аналогично получаем:

Если , то точка середина отрезка ,

тогда координаты середины отрезка вычисляются по формулам:

Если , то точка совпадет с точкой A. Если точка не лежит внутри отрезка , то . В этом случае векторы , следовательно, , векторы сонаправлены и = .

Поместим вектор в начало координат и обозначим через углы, которые вектор образует с положительным направлением осей

Рис.11

координат . Эти углы называются

направляющими углами вектора . Косинусы этих углов называются

направляющими косинусами вектора .

Пусть вектор образует, например, с осью угол . Тогда из треугольника

на рис.11 .

Аналогично: , .

Тогда или .

Отсюда , , .