2. Линейные операции над геометрическими векторами в координатной форме
.2.1. Декартов ортонормированный базис
Определение.
Векторы
образуют правую тройку векторов, если
из конца вектора
кратчайший
поворот от вектора
к вектору
виден против часовой стрелки и левую
тройку векторов, если кратчайший поворот
виден против часовой стрелки.
|
Рис.5
|
Векторы на рис.4 образуют левую тройку векторов, на рис.5 правую тройку. |
Определение.
Если в
задан базис
где
попарно взаимно перпендикулярны, то
базис называется ортогональным.
Если
и
,
то базис называется
ортонормированным.
Если векторы
попарно взаимно перпендикулярны,
и
образуют правую
тройку векторов, то базис называется
декартовым
ортонормированным.
Определение.
Если в
трехмерном пространстве заданы: 1)
произвольная точка О
начало
отсчета и 2) декартов ортонормированный
базис
то
говорят, что в пространстве задана
декартова
прямоугольная система координат.
В дальнейшем, если не оговорено специально,
будем использовать
сокращенную запись ДСК.
Прямые, проходящие через начало координат, называются осями координат: ОХ ось абсцисс; OY ось ординат; OZ ось аппликат.
Векторы
,
,
называются координатными ортами.
координатная прямая |
система координат на плоскости |
система координат в пространстве
|
2.2. Проекция вектора на ось
Угол
|
|||
Рис.6
|
|
||
Определение.
|
|||
Определение.
Ортогональнальной проекцией вектора
на ось
(записывается
На рис.8, 9, 10
показаны различные случаи расположения
вектора, при этом проекция
3) 3) |
|||
Рис.8 |
Рис.9
|
Рис.10 |
|
между вектором
и осью
изображен на рис.6, а угол между двумя
векторами
и
изображен
на рис.7 ,
где угол
Ортогональнальной проекцией точки
M
на ось
называется основание
перпендикуляра
M
,
опущенного из точки
M
на ось
,
записывается:
.
)
называется число такое, что:
.
есть:
,
если угол
острый
(рис.8), где
длина
отрезка, заключенного между
ортогональными проекциями начала и
конца вектора
на ось
;
,
если угол
тупой
(рис.9);
,
если угол
прямой
(рис.10);. 
Другими словами: |
||
1) Вектор
|
2) Вектор и ось противоположно направлены
|
3)
|
и
ось
одинакого направлены
С
10.
|
20.
|
30.
|
|
;
;
где
угол между вектором
и
осью
(направлением
).