1.4. Линейная зависимость между векторами

Определение. Результат конечного числа линейных операций называется линейной комбинацией векторов . Числа называются коэффициентами линейной комбинации. В равенстве вектор является линейной комбинацией векторов или вектор линейно выражается через векторы .

Например, вектор является линейной комбинацией векторов с коэффициентами 3, 4, 7 соответственно.

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют числа , среди которых хотя бы одно число отлично от нуля, и такие, что выполняется: .

Определение. Векторы называются линейно независимыми, если равенство выполняется только при .

Замечания:

1) если хотя бы один из векторов нулевой, то векторы линейно зависимы;

2) если хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных векторов, то векторы линейно зависимы;

3) два вектора линейно зависимы когда они коллинеарны;

4) три вектора линейно зависимы когда они компланарны.

Определение. Базисом линейного пространства называется упорядоченная система векторов этого пространства, которая удовлетворяет двум условиям:

а) векторы системы линейно независимы;

б) всякий вектор пространства является линейной комбинацией векторов системы .

Число векторов базиса называется размерностью пространства. Пространство, в котором базис состоит из векторов , называется мерным, обозначается . Векторы называются базисными. Любые n линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис. Если задан базис, то каждый вектор имеет единственное разложение по этому базису.

Определение. Пусть n=3, тогда трехмерное векторное пространство. Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некопланарных векторов . Любой вектор этого пространства можно разложить по данному базису единственным образом, т.е. .

Определение. Если n=2, то двумерное пространство (плоскость). Базисом на плоскости называеся любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов и любой вектор этого пространства можно разложить по данному базису единственным образом, т.е. .

Определение. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор этой прямой. Пусть базис состоит из одного вектора Тогда любой вектор этой прямой будет коллинеарен вектору, а это означает, что будет выполняться равенство . Это равенство означает разложение вектора по данному базису.

Замечание. если три вектора , и линейно зависимы, например, . Это означает, что в определителе строки линейно зависимы, значит, определитель ; если , то векторы , и линейно независимы и образуют базис в трехмерном пространстве. В этом случае любой четвертый вектор трехмерного пространства является линейной комбинацией базисных векторов: , где координаты вектора в базисе ;