3. Векторное произведение двух векторов и его приложения
Задача 8. Упростить
выражение
.
Решение.
Найдём векторные произведения для этого
раскроем скобки, т.е.
.
Задача 9.
Упростить выражение
,
если
.
|
Решение.
Используя схему, получим, например,
|
,
кроме того
.
.
Задача 10.
На материальную точку
действуют силы
,
,
.
Определить величину и направляю-
щие косинусы
момента равнодействующей сил относительно
точки
.
Решение.
,
где
равнодействующая сил
.
,
плечо, т.е.
вектор
.
.
.
Направляющие косинусы момента есть координаты орта:
.
Задача 11.
Треугольник
построен на векторах
и
,
где
.
Найти высоту, опущенную из вершины
.
Решение.
.
С другой стороны,
,
следовательно
.
Найдём
.
.
.
Смешанное произведение трёх векторов и его приложения
Задача 12. Даны
координаты вершин параллелепипеда
.
Найти: 1) объём параллелепипеда; 2) высоту,
опущенную из вершины C;
3) угол между вектором
и гранью, в которой лежат векторы
и
.
Решение.
Определим векторы
.
1
).
.
2).
?
,
.
.
Тогда
.
|
Для этого определим
угол между вектором
и вектором
,
где
|
.
,
т.е.
.
Тогда
.
.
Угол
,
т.е.
.
Задача 13. Проверить
лежат ли четыре точки
в одной плоскости.
Решение.
Если точки лежат в одной плоскости, то
и векторы, например,
лежат в одной плоскости, т.е. компланарны,
следовательно, их смешанное произведение
равно 0. Определим векторы:
,
,
.
С
оставим
определитель:
Определитель
равен нулю, следовательно, векторы
линейно зависимы. Найдём линейную
зависимость, например, вектора
от
и
.
.
.
Тогда
.
Получим
.
Тогда
.