Линейные операции над векторами
Задача 1.
В равнобедренной трапеции ABCD
угол АDС
равен
,
,
и
середины сторон
и
соответственно. Выразить векторы
через
и
орты направлений
и
.
Р
ешение.
|
Выберем треугольник, в который входит неизвестный вектор, а два других либо даны, либо их можно найти.
|
имеем:
.
Так как
и
,
то
,
.
,
то
.
Тогда
Из
имеем:
;
.
Для нахождения вектора определим его длину.
Из условия
,
следовательно
.
Тогда
,т.е.
.Из
:
.
,
.
,
т.е.
.
Из
:
,
.
Задача 2. Найти
орт биссектрисы угла между двумя
векторами
и
.
Решение. Перенесём векторы и в одну точку. Диагональ четырёхугольника
|
совпадает с
биссектрисой угла, если четырёхугольник
ромб. Если найти орты направлений, то
получим векторы
|
и
единичной длины. Построим на
и
параллелограмм,
который будет являться ромбом.
Следовательно,
диагональ делит угол ромба пополам,
т.е. является биссектрисой угла. Найдём
и
.
Векторы
и
имеют координаты:
,
тогда
,
,
,
.
Задача 3. Образуют
ли векторы
базис в
пространстве
?
Если да, то найти линейную зависимость
вектора
от векторов
,
и
.
Решение.
Три вектора
образуют
базис в
тогда и только тогда, когда они линейно
независимы. Аналитически это означает,
что уравнение
с неизвестными
имеет единственное нулевое решение, а
это означает, что определитель системы
.
Составим систему:
,
т.е.
,
следовательно,
система имеет единственное решение
,
тогда,
векторы
линейно
независимы и образуют базис. Поэтому,
вектор
можно разложить по данному базису
единственным образом, т.е.
:
.
Решим систему
методом Гаусса.
.
Получим
.
Скалярное произведение двух векторов и его приложения
Задача 4.
Найти вектор
,
перпендикулярный векторам
,
и
,
где
.
Решение. Условие задачи запишем в виде векторных уравнений.
Решим
систему
уравнений методом Гаусса.
.
Таким образом,
вектор
.
Задача 5. Найти
вектор
,
коллинеарный вектору
и, удовлетворяющий
условию
,
где
.
Решение.
и вектор
.
Задача 6. Вычислить
проекцию вектора
на вектор
,
где
,
.
Решение.
.
Найдём вектор
.
,
и
Задача 7.
Материальная
точка под действием сил
и
перемещается из точки
в точку
.
Найти работу, совершаемую при этом перемещении.
Решение.
,
где
равнодействующая сил
и
,
т.е.
.
Вектор
.
Следовательно,
работа равна
.