1. Векторы и линейные операции над ними

1.1. Основные понятия

1. Величины бывают скалярными и векторными. Скалярные величины определяются своими численными значениями, например, масса, время, длина, площадь, объём и др. Такие величины как ускорение, сила, момент силы и др. имеют две характеристики численное значение и направление и называются векторными или векторами. Для обозначения вектора используют отрезок, на котором указано направление, т.е. направленный отрезок, его обозначают или , где точка есть начало вектора , точка конец вектора (рис.1). Начало вектора будем называть точкой приложения.

Вектор, для которого определены только направление и длина, но не зафиксирована точка приложения, называется свободным вектором. Такой вектор всегда можно переместить с помощью параллельного переноса в требуемую точку пространства. Если точка приложения вектора зафиксирована, то такой вектор называют связанным. В дальнейшем, если это не оговорено специально, будем пользоваться понятием свободного вектора. 2. Определение. Длиной или модулем вектора называется длина отрезка АВ и обозначается или . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается или просто 0.

Определение. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом направления. Обозначается . Вектор имеет длину, равную единице , и сохраняет направление вектора . Орты на плоскости изображены на рис.2

3. Определение. Два вектора называются равными, если они имеют

одинаковую длину и одинаковое направление. На рис.3 изображён ромб

со стороной, равной 1. Тогда , но .

Векторы и называются противоположными. Сумма противоположных векторов равна нулю, т.е. . Замечание: или .

4. Определение. Два вектора или более, лежащие на параллельных

прямых или на одной прямой, называются коллинеарными. Обозначается . На рис.3 или , ,

и т. д.

Определение. Так как направление нулевого вектора не определено, то он коллинеарен любому вектору.

Определение. Два вектора называются ортогональными, если они лежат на взаимно перпендикулярных прямых. Обозначается .

Определение. Три или более векторов, лежащих в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными. На рис.3 все векторы компланарны. Нулевой вектор компланарен любой системе компланарных векторов.