5) Замечательные пределы.
Первым
замечательным
пределом называется
= 1, или
= 1.
Пример:
1)
= (
)
=
=
=
=1,5.
2)
=
=
=
=
=
.
3)
= (
) =
=
=
=
=
1
= 2.
Числом
е ( вторым замечательным пределом)
называется
предел числовой последовательности е
=
,
или е
=
.
Неопред.
Пример:
1)
=
=
=
.
2)
=
=
=
.
3)
=
=
=
=
.
Дома: Н.В.Богомолов « Практические занятия по математике» стр.69, № 50;
стр.82, № 36,37,38(1),40,41; стр.171, № 251(3,4), 253(3).
№9. Практическое занятие « Вычисление предела функции». (2 часа – практика)
Проверка домашнего задания:
Д
омашняя
работа:
=0,
= 0
№36.
1)
=
=(
) = D
= 49
81,
D
= 121
81,
=
;
=
;
=
2.
= 2.
=
=
=
=1.
2
)
= (
) =
=0 =
=
D
= 4
64.
=
= 3.
=
=
=
= 1
.
;
№37.
1)
= (
=
=
=
=
=
=
=
= 2
2)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
№38(1).
;
=(
)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
№40.
=
(
)
=
=
=
=
=
=
=
(
=
=
=
=
=
)
=
=
=
=
=
=
.
№41.
Самостоятельная работа:
Н.В. Богомолов, стр.83, Зачетная работа; стр.171, № 251(1,2), № 252(1,2).
Дома: Обработка конспекта лекций №8 и №9; повторить построение графиков элементарных функций и построение графиков с помощью преобразований.
№10. Непрерывность функции в точке и на промежутке. (2 часа – лекция, практика)
Повторение:
Изучение нового материала:
Односторонние пределы.
В
приведенном определении предела функции
𝔁⟶а
(т.е.
𝔁
может быть как меньше
,
так и больше
),
говорят
𝔁
стремится к
слева или 𝔁
стремится к
справа.
Если
при нахождении предела функции
рассматривать значения 𝔁
только слева от
,
то такой предел называется левым
или левосторонним
и
обозначается
.
Если
при нахождении предела функции
рассматривать значения 𝔁
только справа от
,
то такой предел называется правым
или правосторонним
и
обозначается
.
Левый и правый пределы называют односторонними пределами.
Пример:
=
=
=
0,9
=
=
=
• 𝔁
1,1
Непрерывность функции.
Функция
f(𝔁)
называется непрерывной
в точке
если она удовлетворяет следующим трем
условиям: 1). f(𝔁)
определена в точке
,
2).
f(𝔁)
имеет конечный предел при 𝔁⟶
3). Этот предел равен значению функции в точке т.е.
=
f(
).
Пример: Исследовать непрерывность в точке 𝔁 = 0 следующих функций:
1).
y =
;
D(y)
= 𝔁
В точке 𝔁 = 0 функция не является непрерывной, т.к. нарушено первое условие непрерывности .
y
0 𝔁
2
)
y = 𝔁
+ 1, при 𝔁
𝔁
при
𝔁
1). 𝔁 = 0 ,т.е. функция в точке 0 определена, f(0) = 0 +1 =1.
2).
=
=
=
=
,
⟹ в точке 𝔁
= 0 функция не является непрерывной, т.к.
нарушено второе условие непрерывности.
y
•1
0 𝔁
°
3
).
y =
, при 𝔁
1, при 𝔁 = 0.
1). 𝔁 = 0 ,т.е. функция в точке 𝔁 = 0 определена, f(0) =1,
2).
=
=
=
=
⟹ = = 0,
3).
f(0)
,
Н арушено третье условие непрерывности, ⟹ функция в точке 𝔁 = 0 не является непрерывной. y
•1
° 𝔁
4). y = .
1).D(y)
= 𝔁
,
f(0)
= 0
2). = =
= = ⟹ = = 0,
3).
f(0)
=
.
Выполнились все три условия непрерывности функции, ⟹ в точке 𝔁 =0 функция является непрерывной.
y
𝔁
Если
условие непрерывности в точке 𝔁
=
нарушено
, то такую точку называют точкой
разрыва
функции.
Для элементарных функций справедливы следующие положения:
1) область непрерывности элементарных функций совпадает с ее областью определения;
2) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого – либо промежутка;
3) элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она неопределена.
Если функция y = f(𝔁) при 𝔁 = а имеет разрыв, то для выяснения характера разрыва следует найти левый и правый пределы:
1)
Если
и
конечные, то 𝔁
= а – точка разрыва I
рода,
2). Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен , то 𝔁 = а – точка разрыва II рода.
Примеры:
1). y =
;
D(f)
= 𝔁
,
⟹ 𝔁
=3 – точка разрыва.
=
=
,
⟹ 𝔁
=3 – точка разрыва II
рода.
Дома: Освоение теоретического материала; Н.В.Богомолов « Практические занятия по математике» стр.85 – 86, №56.
№11. Практическое занятие «Непрерывность функции и точки разрыва».
Изучение нового материала:
Исследовать на непрерывность функцию 𝑦 = f(𝑥), найти точки разрыва, указать характер разрыва и построить схематически график функции:
𝑦 =
𝑦 =
𝑦 =
Дома: Исследовать на непрерывность функцию 𝑦 = f(𝑥), найти точки разрыва, указать характер разрыва и построить схематически график функции:
1
вариант: 𝑦
=
2
вариант: 𝑦
=
