№2. Раздел 1. Элементы вычислительной математики.

Тема 1.1. Погрешности приближенных значений чисел. (2 часа, лекция).

План: 1) Абсолютная погрешность приближенного значения числа.

2) Граница абсолютной погрешности.

3) Верная цифра числа.

4) Запись приближенного значения числа.

5) Округление приближенных значений чисел.

6) Относительная погрешность приближенного значения числа.

В практической деятельности человеку приходится измерять различные величины, производить различные вычисления. Числа, полученные в результате измерения, лишь приблизительно, с некоторой точностью, характеризуют искомые величины. Точные измерения невозможны ввиду неточности измерительных приборов.

Пусть результат измерения величины x с некоторой точностью равен Тогда называют приближенным значением величины x.

Разность между точным и приближенным значениями величины называется погрешностью приближения,( x ).

Модуль разности точного и приближенного значений величины называется абсолютной погрешностью приближения, т.е.

, где

x точное значение,

а приближенное.

Пример: Известно, что - 0,333 является приближенным значением числа - Найти абсолютную погрешность этого приближения.

Решение: x 0,333;

;

Абсолютная погрешность приближения не характеризует качества измерений. Действительно, если мы измеряем с точностью до 1см. какую- либо длину, то в том случае, когда речь идет об определении длины карандаша, это будет плохая точность. Если же с точностью до 1см. определить длину или ширину волейбольной площадки, то это будет высокая точность. Для характеристики качества измерения вводится понятие относительной погрешности.

Относительной погрешностью приближенного значения а числа x называется отношение абсолютной погрешности этого приближения к числу a:

Чем меньше относительная погрешность, тем выше качество измерений и вычислений. Относительную погрешность часто выражают в .

На практике результаты измерений и вычислений обычно выражаются в виде конечных десятичных дробей. Операция округления десятичной дроби состоит в отбрасывании единиц младших разрядов начиная с некоторого. Полученное число принимается за приближенное значение этой дроби.

Абсолютная погрешность , допускаемая при округлении, называется погрешностью округления.

Существует три способа округления положительных десятичных дробей:

1. Округление с недостатком:

54,376 54 ( до единиц),

54,376 54,3 (до десятых),

54,376 54,37 (до сотых),

Погрешности округления: 0,376; 0,076; 0,006.

2. Округление с избытком:

54,376 55 ( до единиц),

54,376 54,4 (до десятых),

54,376 54,38 (до сотых),

Погрешности округления: 0,624; 0,024; 0,004.

3. Самым распространенным округлением является округление с наименьшей погрешностью.

Правило:

• единицы младших разрядов отбрасываются или заменяются нулями;

• число единиц данного разряда не меняется, если следующая цифра данной дроби меньше 5, и увеличивается на единицу, если следующая цифра больше или равна 5.

Пример: 54,376 54 погрешности: 0,376

54,376 54,4 0,024

54,376 54,38 0,004.

Граница абсолютной погрешности.

Любое положительное число удовлетворяющее неравенству

называется границей абсолютной погрешности.

Существует бесконечное множество чисел удовлетворяющих неравенству

поэтому на практике стараются подобрать, возможно, меньшее и простое по записи число

По известной границе абсолютной погрешности находятся границы, в которых заключено точное значение числа х.

( х = a а

Пример: Граница абсолютной погрешности приближенного значения 386 числа х равна 0,5. Укажите границы, в которых заключено число х.

Решение: а = 386, 0,5

х = 386 или 386 – 0,5

385,5 .

Верные и значащие цифры числа.

Цифра m приближенного числа а называется верной в широком смысле,

если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит единицы того разряда, в котором записывается цифра m.

Пример: Указать верные цифры следующих чисел: 2,73 4,627 0,0008; 3,732 562274

Решение: 1) верные цифры 2 и 7.

1. = 0,0008 все цифры числа 4,6,2,7 – верные.

2. верные цифры 3 и 7.

3. верные цифры 5,6,2.

Цифра m приближенного числа а называется верной в строгом смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит половины единицы того разряда, в котором записана цифра m.

Пример: а = 1976, все цифры верные в строгом смысле если

равна половине последнего разряда числа 1976.

Цифры в записи приближенного числа, о которых неизвестно, являются ли они верными, называются сомнительными.

Значащими цифрами приближенного числа называются все его верные цифры (в строгом смысле), кроме нулей, стоящих перед первой цифрой (слева направо), отличной от нуля.

Стандартным видом числа 𝒂 называют его запись в виде произведения b , где 1 и n – целое число.

Пример: Записать в стандартном виде числа 23 100 000; 0,07635; 0,03 ;

Решение: 23 100 000 = 2,31 ;

0,07635 = 7,635 ;

0,03 = 3 .

Дома:

1) Н.В. Богомолов « Практические занятия по математике»,Стр.10 – 14(чтение), стр. 11, № 3; стр.12, № 13,19; стр. 14, № 25.

№3.Практическое занятие: « Вычисление абсолютной и относительной погрешности. Округление приближенных значений чисел». (2 часа - практика).

Проверка домашнего задания:

№3. Найти абсолютную погрешность округления до единиц следующих чисел: 1) 0,8; 2) 7,6; 3) 19,3; 4) 563,58.

Решение:

1. 0,8 ;

2. 7,6

3. 19,3 = 0,3;

4. 563,58

№13. Укажите верные цифры (в широком смысле) следующих чисел:

1. 0,028 0,004; 2) 0,463 0,0008; 3) 0,078 0,002; 4) 12,78 0,0005;

5. 375 20.

Решение:

1. 0,028 0,004; = 0,004 0,01 2 – верная цифра;

2. 0,463 0,0008; = 0,0008 0,001 4,6,3 – верные цифры;

3. 0,078 0,002; = 0,002 0,01 7 – верная цифра;

4. 12,78 0,0005; = 0,0005 0,001 1,2,7,8 – верные цифры;

5. 375 20; = 20 100 3 – верная цифра.

№19. Укажите границу погрешности приближения, если в записи приближенных значений данных чисел все цифры верные (в широком смысле).

1. 𝑥 0,56; = 0,01.

2. 𝑥 84,3; = 0,1.

3. 𝑥 5,10; = 0,01.

4. 𝑥 4,100; = 0,001.

№25. Вычислите относительную погрешность числа считая

Решение:

𝑥 = 3,1416 – точное значение; 𝒂 = 3,14 – приближенное.

.

Повторение:

Вопросы для самоконтроля – фронтальный опрос.

1. Что называется абсолютной погрешностью числа?

2. Что называется границей абсолютной погрешности?

3. Какие цифры приближенного числа называются верными в широком смысле?

4. Какие цифры приближенного числа называются верными в строгом смысле?

5. Какие цифры приближенного числа называются значащими?

6. Что называется относительной погрешностью числа?

7. Что называется округлением десятичной дроби?

8. Что называется погрешностью округления?

9. Как производится округление с недостатком?

10) Как производится округление с избытком?

11. Как производится округление с наименьшей погрешностью?

12. Какая цифра приближенного числа называется сомнительной?

Самостоятельное решение:

1) Найдите погрешность и абсолютную погрешность приближенного значения величины x , если:

а) x = ; 1,6. в) x ; б) x

2) Найти относительную погрешность приближенного значения

величины x из упр. 1.

3) Округлите с недостатком и с избытком до тысячных, сотых и десятых следующие дроби: а) 0,3253; б) 1,23789; в) 24,00391;

Найти погрешность округления.

4)Округлите с наименьшей погрешностью до тысячных, сотых и десятых дроби из упр.3.

5) Округлите до первого справа верного разряда приближенные значения данных чисел: 1) 0,3281 2) 2,0637 3) 14,0367

4) 24,734

6) Площадь квадрата равна 24,5 ( ). Найдите границы измерения площади квадрата.

7) Найти относительную погрешность числа 6,8, если обе цифры его верные в строгом смысле.