3. Примеры расчета.

Пример 1. Дано: Поперечное сечение предварительно напряженной железобетонной балки таврового профиля. Размеры поперечного сечения (рис.1): b=200 мм, h=400 мм, b_f^’=400 мм, h_f^’=70 мм, a_p=35 мм, a^’=30 мм. Напрягаемая арматура S_p 312 класса К1500 , ненапрягаемая арматура S^’ 212 класса A500 . Бетон класса В30.

Т ребуется определить геометрические характеристики приведенного сечения.

Р е ш е н и е. По табл.5-6 приложения находим площади поперечного сечения арматуры:

• напрягаемая арматура S_p 312 К1500 , A_sp= 271,8 мм² ;

• ненапрягаемая арматура S ‘ 212 А500 , A_s^’= 226 мм² .

По табл. 2 и 4 приложения находим модули деформации бетона и арматуры:

- начальный модуль упругости бетона класса В30 Е_b=32500 МПа;

- для напрягаемой арматуры класса К1500 E_s=180000 МПа (Esp) ,

- для ненапрягаемой арматуры класса A500 E_s=200000 МПа. (Es) .

Геометрические характеристики приведенного сечения вычисляем по формулам (1) – (4). Дополнительные размеры сечения и параметры арматуры показаны на рис.2.

Площадь приведенного сечения A_red=A+A_sp+A_s^’=

=200330+40070+5,538271.8+6,154226=94000+1505+1391=0,969010⁵ мм2,

где для S_p =E_sp/E_b=180000/32500=5,538

и для S^’=E_s/E_b=200000/32500=6,154.

Статический момент приведенного сечения относительно нижней грани расчетного сечения S_red=S+A_spa_p+A_s^’(h-a^’)=

=200330165+40070365+5,538271,830+6,154226(400-30)=

=10890000+10220000+45157+514597=0,216710⁸мм³.

Расстояние от нижней грани до центра тяжести приведенного сечения

y=S_red/A_red=0,216710⁸/96896=223,6 мм.

Момент инерции приведенного сечения I_red=I+A_sp(y-a_p)²+A_s^’(h-y-a^’)=

=200330³/12+200330(223,6-165)²+40070³/12+40070(365- 223,6)²+

+5,538271,8(223,6-30)²+6,154226(400-223,6-30)²=0,1483 10¹⁰ мм⁴.

Момент сопротивления приведенного сечения относительно грани, растянутой от действия внешней нагрузки

W_red = I_red / y=0,148310¹⁰/223,6=0,6632 10⁷мм³.

Расстояние от центра тяжести приведенного сечения до верхней ядровой точки r = W_red / A_red = 0,663210⁷/96896= 68,44 мм.

Пример 2. Дано: Свободно опертая предварительно напряженная балка длиной l=6,0 м и расчетным пролетом l₀ =5,75 м. Поперечное сечение и параметры арматуры по рис. 1. примера 1. Начальное предварительное напряжение арматуры _sp = 985 МПа, способ натяжения арматуры S_p механический. Бетон класса В30, условия твердения – тепловая обработка, передаточная прочность бетона R_bp= 20 МПа; влажность окружающей среды 85 %. Геометрические характеристики приведенного сечения: A_red= 0,969010⁵ мм², y = 223,6 мм, I_red= 0,1483 10¹⁰ мм⁴.

Требуется определить потери предварительного напряжения, усилие обжатия с учетом всех потерь и его эксцентриситет.

Р е ш е н и е. . По табл.4-6 приложения находим характеристики напрягаемой и ненапрягаемой арматуры:

• напрягаемая арматура S_p 312 К1500 , A_sp= 271,8 мм² ; R_s,n=1500 МПа; E_s=180000 МПа;

• ненапрягаемая арматура S ‘ 212 А500 , A_s^’= 226 мм² . R_s,n=500 МПа; E_s=200000 МПа;

По табл. 1-3 приложения находим деформативные характеристики бетона:

- для класса В30: Е_b=32500 МПа; _b,cr = 1,6 (при влажности 85%);

• для передаточной прочности бетона R_bp= 20 МПа: Е_b=27500 МПа;

_b,cr = 2,0.

Первые потери предварительного напряжения арматуры находим по формулам (5)-(11).

От релаксации напряжений арматуры класса К1500 при механическом способе натяжения:

43,8 МПа.

Потери от температурного перепада при тепловой обработке балки:

_sp2=1,25t = 1,2565= 81,25 МПа ,

где t =65⁰ , так как нет точных данных о температурном перепаде.

Потери от деформации упоров при натяжении арматуры:

_sp3=30 МПа.

Потери от деформации анкеров, расположенных у натяжных устройств:

51,43 МПа,

где l= 2 мм (принято при отсутствии данных), а l=6000 мм – расстояние между наружными гранями упоров (на 1000 мм больше длины балки).

Полные значения первых потерь предварительного напряжения арматуры находим по формуле:

_sp(1)= _sp1+_sp2+_sp3+_sp4=43,8+81,25+30+51,43=206,5 МПа.

Тогда усилие обжатия с учетом первых потерь будет равно:

P₍₁₎=A_sp(_sp - _sp(1))=271.8(985 – 206,5)=21160 Н =211,6 кН.

В связи с отсутствием в верхней зоне напрягаемой арматуры эксцентриситет усилия обжатия относительно центра тяжести приведенного сечения будет равен e_op1=y-a_p=223,6-30=193,6 мм.

Проверим максимальное сжимающее напряжение бетона _bp от действия усилия P₍₁₎ , вычисляя _bp по формуле (14) при y= 223,6 мм и принимая момент от собственного веса балки равным нулю:

_bp = P₍₁₎ / A_red+ P₍₁₎ e_op1 y / I_red =211,6 10³ / (0,969010⁵) +211,6 10³193,6223,6 / (0,148310¹⁰)=2.18+6.18=8,36 МПа <0.9R_bp=0,920=18 МПа, т.е. требование выполняется.

Определим вторые потери от усадки и ползучести бетона по формулам (12) и (13).

Потери от усадки бетона будут равны:

_sp5= _b,sh E_s =0,0002180000=36 МПа,

где  _b,sh = 0,0002 соответствует заданному классу бетона В30.

Для нахождения потерь от ползучести бетона вычислим напряжение в бетоне _bp в середине пролета балки от действия сил P₍₁₎ и изгибающего момента M_w от веса балки:

вес 1 м балки будет равен q_w=A=25(0,200,33+0,400,07)=2,35 кН/м,

а изгибающий момент от собственного веса балки составит

M_w= q_w /8=2,355,75²/8=9,71 кНм.

Напряжение _bp на уровне напрягаемой арматуры (т.е. при y_sp=e_op1) , будет равно _bp = P₍₁₎ / A_red+( P₍₁₎ e_op1 – M_w)y_sp / I_red =211,6 10³ / (0,969010⁵) +

+(211,6 10³193,6-9,7110⁶)193,6 / (0,148310¹⁰)=2,18+4,12=6,30 МПа,

(сжатие).

Напряжения на уровне крайнего сжатого волокна при эксплуатации соответственно будут равны

= P₍₁₎ / A_red -( P₍₁₎ e_op1 – M_w)(h-y) / I_red =211,6 10³ / (0,969010⁵) -

- (211,6 10³193,6-9,7110⁶) (400-223,6)/( 0,148310¹⁰)=2,18-3,72=

=-1,54 МПа <0, (растяжение).

Напряжения на уровне сжатой в стадии эксплуатации ненапрягаемой арматуры составят

= P₍₁₎ / A_red -( P₍₁₎ e_op1 – M_w)(h-y-a^’) / I_red =211,6 10³ / (0,969010⁵) -

- (211,6 10³193,6-9,7110⁶) (400-223,6-30)/( 0,148310¹⁰)=2,18-3,08=

= -0,90 МПа <0, (растяжение).

Потери от ползучести бетона определяем по формуле (2.7)[2], принимая значения _b,cr и E_b по классу бетона равному R_bp = 20 МПа, поскольку передаточная прочность бетона R_bp меньше 70% класса бетона В30.

Тогда потери от ползучести соответственно будут равны:

-на уровне растянутой напрягаемой арматуры

= 56,4 МПа,

где  =E_sp / E_b =180000/27500= 6,545 , а _sp=A_sp/A = 271,8/94000=0,00289.

- на уровне крайнего сжатого волокна и на уровне ненапрягаемой арматуры потери напряжений от ползучести бетона _sp6 =0 , так как <0.

Следовательно, полные значения первых и вторых потерь предварительного напряжения арматуры составляют

_sp(2)= _sp1+_sp2+_sp3+_s4+_sp5+_sp6=

=43,8+81,25+30+51,43+36+56,4=298,9 МПа > 100 МПа.

С учетом всех потерь напряжения в напрягаемой арматуре будут равны

_sp2 =_sp-_sp(2) = 985 – 298,9 = 686,1 МПа.

Усилие обжатия с учетом всех потерь определяем по формуле (17)

Р= _sp2 A_sp – _s’ А_s’ = 686,1271,8 – 0226 =186,510³ H = 186,5 кН,

где _s’= 0, поскольку <0. В этом случае экцентриситет усилия обжатия бетона будет равен e_op = e_op1 = 193,6 мм.

Пример 3. Дано: Предварительно напряженная балка с поперечным сечением и параметрами арматуры по рис. 1. примера 1. Бетон класса В30.

Геометрические характеристики приведенного сечения: A_red= 0,969010⁵ мм²,

y = 223,6 мм, I_red= 0,1483 10¹⁰ мм⁴; изгибающий момент в середине пролета от постоянных и длительных нагрузок М =73,58 кНм; усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь) и его эксцентриситет: Р=186,5 кН, e_op=193,6 мм.

Требуется рассчитать сечение балки по раскрытию трещин от действия постоянных и длительных нагрузок.