8. Выводимость

Пусть задано множество формул от высказывательных переменных

( ), ( ), . . . , ( ). (8.1)

Это множество формул назовем системой посылок.

Определение. Формула ( ) называется выводимой из системы формул (1) в алгебре высказываний, что обозначается , . . ,  , тогда и только тогда, когда формула

(8.2)

является ТИ-высказыванием.

Из определения следует, что если конъюнкция

(8.3)

тождественно истинна, то из такой системы посылок (8.1) выводимы только тождественно истинные формулы, которые выводимы из любой системы посылок. Если же конъюнкция (8.3) тождественно ложна, то из системы посылок (8.1) выводима любая формула.

Нетрудно доказать следующие свойства выводимости.

1. Если  и  то  .

2. Если  и ~ , то  .

Проверка выводимости формулы из системы посылок (1) непосредственно по определению, т.е. путем доказательства тождественной истинности формулы (2), достаточно громоздко. Рассмотрим более простой способ доказательства выводимости формулы из системы посылок (1), для которых конъюнкция (3) не является ни ТИ-высказыванием, ни ТЛ-высказыванием.

Теорема 8.1. Формула ( ) тогда и только тогда выводима из системы формул (8.1), когда все полные элементарные дизъюнкции формулы входят в СКН-форму , эквивалентную формуле (8.3) относительно высказывательных переменных .

Так как теорема 8.1 формулирует необходимое и достаточное условие выводимости формулы, то на основе нее можно сформулировать алгоритм доказательства выводимости формулы.

1. Из системы посылок (8.1) строится конъюнкция (8.3).

2. Находим СКН-форму от высказывательных переменных для формулы (8.3).

3. Строим СКН-форму для формулы и проверяем вхождение полных элементарных дизъюнкций СКН-формы для формулы в СКН-форму для формулы (8.3).

Задание 1. Доказать выводимость  .

Решение.

1. Обозначим = X, = . Строим их конъюнкцию .

2. Найдем СКН-форму эквивалентную этой конъюнкции.

V.

3. Получим СКН-форму для формулы B :

Так как обе дизъюнкции входят в СКН-форму , то выводимость доказана.

Тема 2. Алгебра предикатов

Алгебра предикатов является развитием алгебры высказываний. Кроме простых и составных высказываний она вводит в рассмотрение высказывания, отнесенные к переменным из некоторого множества M, которое в дальнейшем будем называть предметным множеством, а его элементы – предметными переменными.

1. Предикат. Операции над предикатами.

Неформально предикат можно определить как некоторое высказывание, значение которого зависит от значений предметных переменных из множества M, на котором определен предикат.

Примеры:

а) P(x) : “x есть простое число”;

(Здесь и всюду в дальнейшем для задания предиката будем использовать краткую форму записи, которая подробно расписывается следующим образом: “x есть простое число”.)

б) D(x,y) : “x нацело делится на y”;

в) R(x,y) : “x > y”.

В качестве предметного множества для этих примеров можно рассматривать любые числовые множества, в частности, в примерах a), b) – M = , а в c) – M = .

Более строго предикат можно определить как отображение n-ной степени множества M, называемой местностью или арностью предиката в двухэлементное множество B = {1, 0}

.

При подстановке в предикат вместо предметных переменных набора значений получим логическое высказывание (так , а ). Таким образом, предикат представляет собой переменное высказывание (или систему высказываний), истинность которого определяется подстановкой различных значений предметных переменных.

Так как предикаты принимают значения из множества B, то для них определены логические операции ~. Кроме того, для предикатов вводятся операции утверждения всеобщности и утверждения существования.

Операция утверждения всеобщности ставит в соответствие высказывательной форме P(x) высказывание (читается как, P(x) истинно для всех x из множества M, на котором определен предикат). Высказывание истинно тогда и только тогда, когда высказывание P(a) истинно для любого элемента .

Операция утверждения существования ставит в соответствие высказывательной форме P(x) высказывание (читается как, существует такой x из множества M, для которого высказывание P(x) истинно). Высказывание истинно тогда и только тогда, когда высказывание P(a) истинно хотя бы для одного элемента .

Знаки  и  называются кванторами всеобщности и существования (квантор в переводе с латинского – определение количества). Переход от высказывательной формы P(x) к высказываниям или называется навешиванием квантора или связыванием переменной x (иногда – квантификацией переменной x).

Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной, несвязанная переменная называется свободной. Смысл связанных и свободных переменных в предикатных выражениях различен. Свободная переменная – это обычная переменная, которая может принимать различные значения из M, а выражение P(x) – переменное высказывание, зависящее от значения x. Выражения и не зависят от переменной x и при фиксированных P и M имеют вполне определенное значение. Переменные, являющиеся по существу связанными, встречаются не только в математической логике. Например, в выражениях или переменная x связана, при фиксированной f первое выражение равно определенному числу, а второе является функцией от a и b.

Таким образом, в высказываниях и говорится не о свойствах отдельных элементов множества M, а о свойствах самого множества M. Истинность или ложность этих высказываний не зависит от того, как обозначена предметная переменная, входящая в них, и ее можно заменить любой другой предметной переменной, например y, и получить высказывания и , имеющие тот же самый смысл и те же самые значения истинности, что и исходные высказывания.

В общем случае для n-арного предиката, если , операции утверждения всеобщности или существования можно выполнять k раз (порядок выбора переменных, по которым происходит навешивание квантора, может быть любым, исключая их повторение) и получить выражение

, (1)

где обозначает квантор всеобщности или существования. Переменные в высказывательной форме (1) являются связанными, а – свободными.

Высказывательная форма (1) при замене переменных элементами множества M обращается в истинное или ложное высказывание. При k = n высказывательная форма (1) становится высказыванием. Изменение порядка следования различных кванторов изменяет смысл высказывания, что может изменить его истинностное значение.

Например, для предиката делимости D(x,y): “x нацело делится на y” высказывание читается, как “для любого x существует y, такое, что x делится на y”, и является истинным высказыванием, так как любое натуральное x делится на себя и на 1, т.е. y = x или y =1. Высказывание читается, как “существует y, на который делится любой x ”, и также является истинным высказыванием, так как на значение y =1 делится любое натуральное x.