3. Двойственные формулы

Определение. Формула U^d называется двойственной к приведенной формуле U, если она получена заменой операций конъюнкций на дизъюнкции и наоборот.

Теорема 3.1 (принцип двойственности). Пусть U( ) – приведенная формула, тогда U^d ( ) = U( ).

Доказательство. Число логических операций в формуле U называется рангом формулы и обозначается r(U). Проведем доказательство индукцией по k = r(U).

1⁰. k = 0. В этом случае U = X_i , следовательно, U^d = X_i    U ( ).

2 ⁰. Предположим, что теорема верна при k  m.

3 ⁰. Покажем, что она верна при k = m + 1.

Пусть U₁ и U₂ – подформулы U. Каждая из них образована посредством не более, чем m операций, и следовательно, для них теорема верна.

Возможны следующие случаи

а) U =  U₁;

б) U = U₁  U₂;

в) U = U₁  U₂.

Случай а) эквивалентен условию 1⁰ и при нем теорема верна. В случаях б) и в) заменим в каждой из U_i конъюнкцию на дизъюнкцию и наоборот. По определению двойственности будем иметь, соответственно, б): U^d = U  U и в): U^d= U  U .

В силу законов де Моргана и предположения индукции будем иметь в случае б):

U^d = U  U = (U₁ ( ))  (U₂ ( )) 

  (U₁ ( )  U₂ ( )) =  U( ).

В случае в) выкладки аналогичны. Теорема доказана.

Следствие. Если U – ТИ-формула, то U^d – ТЛ-формула.

Теорема 3.2. Если U  V, то U^d  V^d.

Доказательство. Если U  V, то (U)  (V). Значит, в силу теоремы 2.6, U^d(Х₁, …, Х_n) = U( ) и V^d(Х₁, …, Х_n) = V( ).

Отсюда: U^d = (U( ))  (V( )) = V^d. В силу транзитивности эквиваленции, получим U^d  V^d , что и требовалось доказать.

4. Булевы функции

Любую формулу алгебры логики можно рассматривать как функцию, определенную на множестве B ={1, 0}.

Функцией алгебры логики (логической функцией) или булевой функцией f(x₁,x₂,...,x_n) называется отображение f : B ⁿB, определенное на множестве упорядоченных наборов элементов множества B и принимающее значения из этого множества. Обозначим через P_n – множество булевых функций n переменных.

Логическую функцию n переменных f(x₁,x₂,...,x_n) можно задать таблицей, в левой части которой перечислены все 2ⁿ наборов значений переменных, а в правой части – значения функции на этих наборах.

x1 x2 . . . хn-1 xn	f(x1, x2 , . . . хn-1 , xn)
0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 1 0 0 . . . 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 . . . 1 0 1 1 . . . 1 1	f(0,0, . . . ,0,0) f(0,0, . . . ,0,1) f(0,0, . . . ,1,0) . . . . . . . . f(1,1, . . . ,1,0) f(1,1, . . . ,1,1)

При любом фиксированном упорядочении наборов булева функция n переменных полностью определяется вектор-столбцом своих значений, размерность которого равна числу наборов значений функции, то есть 2ⁿ . Поэтому число различных функций n переменных равно числу различных двоичных векторов длины 2ⁿ, то есть , т.е. | | = .

Нулем (единицей) булевой функции назовем упорядоченный набор значений переменных, на котором значение функции равно 0 (1).

Пусть F={ } – некоторое множество булевых функций. Его можно выбрать в качестве основного набора, называемого базисом. Формулой над базисом F (обозначается [F]) называется выражение вида [F]= , где F, а либо переменная, либо формула над F. Таким образом, всякая формула является суперпозицией базисных функций, для её представления обычно применяется форма записи с логическими операциями ~. Каждой формуле однозначно соответствует некоторая булева функция f, в этом случае говорят, что формула реализует функцию f (обозначается func  = f ). Как будет показано ниже, такая реализация не единственна.

Приведем примеры логических функций одной и двух переменных и их реализаций в виде формул.

Логических функций одной переменной четыре: две нуль-местные (₀(х), ₃(х)) – константы 0 и 1, значения которых не зависят от значения переменной, и две одноместные функции – тождественная и отрицание.

x	0	1	2	3
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Тождественная функция "повторяет" значение х: ₁(х)=х. Функция отрицание возвращает значение, противоположное значению х: ₂(х)=¬х.

Логических функций двух переменных шестнадцать:

х1	x2	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

Рассмотрим подробнее все эти функции.

0. ₀(х₁,х₂) 0 и ₁₅ (х₁,х₂) 1.

1. ₁(х₁,х₂) = х₁  х₂ . Эта функция называется ещё логическим умножением и обозначается, также, х₁х₂.

2. ₂(х₁.х₂) =  (х₁х₂).

3. ₃(х₁,х₂) = х₁.

4. ₄(х₁.х₂) =  (х₂х₁).

5. ₅(х₁,х₂) = х₂.

6. ₆(х₁,х₂) = (х₁~х₂) называются неравнозначностью, разделительной дизъюнкцией или сложением по модулю 2 и обозначается еще как х₁ х₂.

7. ₇(х₁.х₂) = х₁ х₂ .

8. ₈(х₁.х₂) = (х₁х₂) – антидизъюнкция, которая называется, также, стрелка Пирса и обозначается х₁х₂.

9. ₉(х₁.х₂) = х₁~х₂ . Эту функцию называют еще равнозначностью и обозначают х₁х₂ .

10. ₁₀(х₁.х₂) = _.

11. ₁₁(х₁.х₂) = х₂х₁.

12. ₁₂(х₁.х₂) = .

13. ₁₃(х₁.х₂) = х₁х₂.

14. ₁₄(х₁.х₂) = (х₁х₂) – антиконъюнкция, которая называется еще штрих Шеффера и обозначается х₁ | х₂.

Формулы, реализующие одну и ту же функцию, называются равносильными. Отношение равносильности формул является отношением эквивалентности и обозначается .

Фиктивной переменной (несущественной) функции f(x₁, . . . _, x_n) называется переменная х_i, изменение значения которой не меняет значения функции, то есть f(x₁, . . . , х_i-1, 1, x_i+1, . . . , x_n) = f(x₁, . . . , х_i-1, 0, x_i+1, . . . , x_n).

Например, в функциях ₃ и ₁₂ переменная х₂ фиктивна, а в функциях ₅ и ₁₀ фиктивна переменная х₁.

Функция f(x₁, . . . , x_n), имеющая фиктивную переменную x_i, по существу зависит от (n–1)-й переменной, т.е. представляет собой функцию g(x₁, . . . , х_i-1, x_i+1, . . . , x_n). В этом случае говорят, что функция g получена из функции f удалением фиктивной переменной, а функция f получена из функции g введением фиктивной переменной, причём эти функции считаются равными.

Пусть f (x₁,  , x_n)  P_n – булева функция. Тогда функция f ^*(x₁, , x_n), определенная следующим образом

f ^*(x₁, , x_n) = ,

называется двойственной к функции f.

Теорема (Принцип двойственности). Пусть F={ }. Тогда, если формула [F] реализует функцию f, то формула ^* над базисом F^*={ }, полученная из формулы заменой функций f_i на двойственные им функции f_i^*, реализуют функцию f ^*.