3. Отношение эквивалентности в ив
Определим эквивалентность формул в исчислении высказываний.
Определение
1.
Формулы A
и
B
называются эквивалентными, что
обозначается |
,
если
|
(1)
Cвойства отношения эквивалентности:
Рефлексивность: |
.Симметричность: если |
,
то |
.Транзитивность: если | и |
,
то |
.
Задание 1. Доказать свойство симметричности отношения эквивалентности.
Решение.
|
|
|
Из свойств отношения эквивалентности следует, что множество формул исчисления высказываний разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных друг другу формул (классы эквивалентности). Следовательно, все теоремы исчисления высказываний образуют один класс эквивалентных формул.
В исчислении высказываний имеют место следующие эквивалентности, которые соответствуют аналогичным свойствам отношения эквивалентности алгебры высказываний.
|
.|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того чтобы
доказать эквивалентность |
в исчислении высказываний достаточно
построить выводы
|
и
|
.
Покажем, что если
|
и |
,
то |
.
1. | |
по условию |
2. V |U |
по условию |
3. | |
5 (1) |
4. | |
5 (2) |
5. , | |
7 |
6. | |
4 (3, 4, 5) |
Последняя формула,
в силу определения, означает 
.
Теорема
эквивалентности. Если
и
– формулы, полученные заменой некоторых
(одних и тех же) вхождений какой-либо
высказывательной переменной в формуле
U
соответственно формулами
и
,
то
|
.
4. Исчисление секвенций ис.
Выше мы говорили про исчисление гильбертовского типа. Исчисление высказываний генценовского типа называется исчислением секвенций ИС.
Алфавит ИС состоит из символов алфавита ИВ, дополненных символом |. Допустимые последовательности символов – формулы определяются также как и в ИВ, кроме того, в ИС вводится понятие секвенция.
Пусть U1, U2, . . . ,Un, V – формулы ИС. Секвенциями называются конечные последовательности следующих двух видов:
U1, U2, . . . ,Un | V (из истинности U1, U2, . . . ,Un следует истинность V);
U1, U2, . . . ,Un |- (система формул U1, U2, . . . ,Un противоречива).
Множество аксиом ИС определяется единственной схемой секвенций U |- U. Правила вывода ИС определяются следующими записями, где T, T1 – конечное множество формул (возможно пустое).
(введение ).
(удаление ).
(удаление ).
(введение ).
(введение ).
(удаление
или правило разбора двух случаев).
(введение ).
(удаление ).
(удаление
или доказательство от противного).
(выведение
противоречия).(перестановка посылок).
(уточнение или
правило лишней посылки).
Исчисления ИВ и ИС эквивалентны.
Исчисления предикатов ип (ипс).
Определим исчисление предикатов гильбертовского типа ИП. Это исчисление является расширением исчисления высказываний ИВ.
В алфавит ИВ добавим строчные латинские буквы для обозначения предметных переменных и символы кванторов и . Язык исчисления составляют формулы, определяемые также, как в алгебре предикатов.
Аксиоматика исчисления дополняется двумя схемами аксиом:
,
где
– произвольная формула, содержащая
свободные вхождения переменной x,
(и, возможно, связные вхождения y)
причем ни одно из вхождений x
не находится в области действия квантора
по переменной y.
получена из
заменой свободных вхождений x
на y.
Например, F(x) не может быть формулой вида G(x) y H(x, y).
К правилу заключения
ИВ добавляются два правила, связанные
с кванторами. Пусть
и
– формулы, которые содержат и не содержат
свободные вхождения переменной x
соответственно.
Правило обобщения (введения )
.
Правило введения
.
Правила вывода дополняются 4-мя правилами. Пусть Т – последовательность формул, не содержащих свободных вхождений переменной х.
Правило введения квантора .
Если T |- U(x), то T |- xU(x).
Правило удаления квантора .
Если T |- xU(x), то T |- U(у).
Правило введения квантора .
Если T |- U(у), то T |- xU(x).
Правило удаления квантора .
Если T, U(x) |- V, то T, xU(x) |- V.
Рассмотрим пример вывода в ИП.
Доказать,
что в ИП
|-
1. |- |
1 |
2.
|- |
15 (1) |
3. |- |
14 (2) |
Исчисление предикатов генценовского типа ИПС строится расширением исчисления ИС.
Отношение эквивалентности в ИП и ИПС определяется также, как и в ИВ.