4. Перестановки

 Рассмотрим теперь отдельно случай, когда m = n. Соответствующие этому случаю размещения называются перестановками.

 Определение. Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество, в которое входят по одному разу все n различных элементов данного множества.

 Пример. Пусть имеются цифры 3, 5, 7. Этому множеству цифр соответствует 6 перестановок: 357, 375, 537, 573, 753, 735.

Число перестановок n различных элементов будем обозначать символом .

Формула: число перестановок n различных элементов равно:

Так как перестановки являются частным случаем размещений, то при n = m имеем:

 

Рассмотрим теперь случай с повторениями. Если каждый элемент множества {4; 5} взять по два раза, получим числа: 4455, 5544, 5454, 4545, 4554, 5445.

 

Определение. Перестановки из n объектов, в каждую из которых входят одинаковых объектов одного типа, – второго типа и т.д. до – k-го типа, называются перестановками из n элементов с повторениями.

Число всех таких перестановок с повторениями:

.

Так, для примера, .

 

5. Сочетания

 Если два различных размещения состоят из одинаковых элементов некоторого множества, то они обязательно отличаются порядком входящих в них элементов. Часто возникает необходимость не учитывать порядок элементов, входящих в размещение. В этом случае все m! размещения, которые состоят из одних и тех же m элементов, считаются неразличимыми.

 

Предположим, что из чисел 3, 5, 7 необходимо составить различные произведения двух чисел. Таких произведений только три, а именно: 3  5 = 15; 3  7 = 21; 5  7 = 35. Это объясняется тем, что произведения вида 3  5 и 5  3 совпадают, так как порядок сомножителей, входящих в произведение, не учитывается. Если требуется из указанных цифр составить двузначные числа, то таких чисел уже шесть. Запишем эти числа: 35, 53, 37, 73, 57, 75. Как видно, здесь уже пришлось учитывать порядок цифр, т.е. получим размещения.

 

Определение. Сочетанием из n элементов по m называется любое подмножество из m элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n различных элементов.

 

Пример. Пусть имеется множество, содержащее четыре буквы: {A, B, C, D}. Запишем все возможные сочетания из указанных букв по три. Таких сочетаний будет четыре: ABC, ACD, ABD, BCD. Здесь в число сочетаний не включены, например, ACB и BCA, так как эти последовательности букв не отличаются от последовательности ABC, поскольку порядок элементов в сочетаниях не учитывается.

 

Число сочетаний из n разных элементов по m будем обозначать символом , где .

 

Прежде чем привести общую формулу для определения числа сочетаний, решим следующую задачу. Необходимо выбрать 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

 

Из смысла задачи следует, что порядок выбора книг не играет роли. Здесь важен только их состав. Как известно из предыдущего, число размещений из 10 по 4 равно . Пусть теперь выбраны 4 книги из 10. Число возможных выборов, где не учитывается порядок выбранных книг, равно . Однако каждому из этих сочетаний (выборов) будут соответствовать  = 24 перестановки выбранных книг. Тогда выбор 4 книг из 10 с учетом их порядка по правилу умножения возможен способами. С другой стороны, число указанных способов – это число размещений . Таким образом, , откуда имеем . То есть число возможных способов выбора равно 210. Следовательно, число сочетаний из n элементов по m равно:

.

Следствие. Число сочетаний из n элементов по n – m равно числу сочетаний из n элементов по m, т.е.

.

Еще раз подчеркнем разницу между размещениями и сочетаниями: в размещениях учитывается порядок входящих в них элементов, а в сочетаниях – не учитывается. При решении задач это не следует забывать. Кроме того, следует иметь в виду, что использование правила умножения приводит к необходимости учитывать порядок элементов при выборе их из какого-либо множества.

 

Приведем два свойства числа сочетаний, которые могут быть полезными при решении комбинаторных задач.

 

•         Имеет место равенство (правило Паскаля):

•         Имеет место равенство:

.

 

Рассмотрим теперь задачу с повторениями.

Определение. Сочетаниями из n объектов называются соединения, содержащие m объектов (без учета порядка следования), причем любой объект может входить в соединение любое число раз, но не более m раз.

 

Таким образом, если имеется по m одинаковых предметов каждого из n различных типов, то число способов, которыми можно выбрать m из этих предметов определится формулой:

Пример. Сколькими способами можно выбрать четыре монеты из четырех пятирублевых и четырех рублевых монет?

 

Это – задача о числе сочетаний из двух по четыре с повторениями. Следовательно,

,

то есть число таких выборов – пять.

 

Примеры решения задач

 

Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих применение комбинаторных формул в задачах.

1. Упростить выражение .

 

Было бы неправильным просто вычислить все факториалы, после чего перейти к арифметике ‑ слишком большие числа. Используем, где возможно, расчленение факториалов:

; ;

. Следовательно, .

2. Упростить выражение

Напомним, что ; и , тогда

3..При расследовании хищения установлено, что у преступника семизначный телефонный номер, в котором ни одна цифра не повторяется. Следователь, полагая, что перебор этих номеров потребует одного-двух часов, доложил о раскрытии преступления. Прав ли он?

 

Известно, что любое число может быть записано с использованием десяти цифр: 0, 1, ..., 9. Так как телефонные номера обычно не начинаются с 0, то задача состоит в вычислении числа комбинаций из девяти различных цифр по 7. Очевидно, что это ‑ размещение по семи различным местам семи из девяти различных цифр, т.е.

номеров.

 

Даже если на проверку одного номера тратить 1 минуту, то на все уйдет 3024 часа или 126 суток. Таким образом, следователь ‑ не прав.

 

4.Сколькими способами семь разных учебников можно поставить на полке в один ряд?

 

Так как порядок учебников по условию ‑ значения не имеет, то имеем задачу о числе перестановок семи разных книг. Следовательно, способов.

 

5. В штате мебельного магазина имеется пять грузчиков. Сколькими способами можно сформировать бригаду из двух грузчиков для доставки гарнитура к заказчику?

 

Поскольку не имеет значения, какой грузчик будет первым, а какой ‑ вторым, т.е. необходим выбор двух разных грузчиков из пяти возможных, то это ‑ задача о сочетаниях из пяти человек по два. Следовательно, способов.

 

6. В розыгрыше первенства по футболу среди вузов принимает участие 16 команд, при этом любые две команды играют между собой только один матч. Сколько всего календарных игр?

 

Данная задача ‑ о числе выборок из 16 по 2. Таким образом,

игр.

 

7. Изменим условия примера 3. Пусть стало известно, что в телефонном номере преступника встречаются только цифры 2, 4, 5 и 7. Насколько уменьшится перебор всех возможных номеров?

 

Таким образом, в семизначном телефонном номере встречаются только четыре цифры, остальные три, очевидно, повторяют какие-то из имеющихся. Следовательно, имеем задачу о размещениях из четырех цифр по семи, то есть с повторениями. Решение: (повт.) = 4⁷ =16384 номера. Перебрать все эти номера можно примерно за 11 суток, что почти в 10 раз меньше, чем в примере 3.

 

8.Сколькими способами можно разложить в ряд две зеленые и четыре красные папки?

 

Так как названия папок не указываются, а критерием является цвет, то задача состоит в расположении шести цветных папок двух цветов. Имеем случай перестановок с повторениями. Следовательно, способами.

 

9.Сколькими способами можно переставить буквы в слове «какао», чтобы получились все возможные различные наборы букв?

 

В заданном слове ‑ 5 букв, причем «к» и «а» повторяются по два раза, а «о» встречается один раз. Таким образом, способов.

 

Вопросы для самоконтроля: