Конспект лекционных занятий по дисциплине
«Цифровые устройства и микропроцессоры»
Тема лекции 1. Введение. Системы счисления. Формы представления чисел. Прямой, обратный и дополнительный код. Арифметические основы цифровых устройств.
Системы счисления
Системой счисления является совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Системы счисления, в которых веса цифр числа различны и значение веса зависит от номера позиции цифры, называются позиционными.
В общем случае в позиционной системе счисления вес p=s ( h, i ), где i номер позиции в числе, а h - целое число отличное от нуля, называемое основанием системы счисления или базисом. Наиболее простым примером позиционной системы счисления является десятичная система. Значение цифры в ней зависит от места ее в числе. Например, в числе 769(10) (индекс в скобках рядом с числом обозначает основание системы счисления) цифра "семь" обозначает семь сотен, а в числе 72(10) - семь десятков.
Системы счисления, в которых веса разрядов числа не зависят от их позиции называются непозиционными. Примером непозиционной системы счисления является римская система, использующая набор символов: I, V, X, L, С, D и т.д. Независимо от позиции в римском числе значения одноименных цифр совпадают.
Десятичная система счисления имеет основание h=10. Базис системы счисления содержит десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Двоичная система счисления имеет основание h=2, которое записывается как 10(2) в двоичной системе счисления. Очевидно, что базис этой системы содержит только две цифры: нуль и единицу.
Основанием восьмеричной системы счисления является число "восемь", которое записывается как 10(8) и содержит восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. В шестнадцатеричной системе счиспения основание "шестнадцать" записывается как 10(16) и содержит цифры от 0 до 15. Для их обозначения в пределах от 0 до 9 используются символы, совпадающие с десятичными цифрами, а для значений 10, 11, 12, 13, 14, 15 используются соответственно шесть прописных букв латинского алфавита А, В, С, D, Е, F.
Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую.
Существует
несколько способов перевода чисел из
одной системы счисления в другую. Перевод
чисел по таблице эквивалентов используется
только в том случае, если основания
систем счисления связаны соотношением:
q=
, где k - целое число (k>1). Перевод чисел
осуществляется простой заменой каждой
цифры исходной системы счисления на ее
эквивалент в новой системе счисления
по таблице эквивалентов (таблица 1.1).
Причем каждой цифре в q-системе счисления соответствует эквивалент в h-системе, занимающий k позиций.
Таблица 1.1
Системы счисления
q=8 |
h=2 |
q=16 |
h=2 |
q=16 |
h=2 |
0 |
000 |
0 |
0000 |
8 |
1000 |
1 |
001 |
1 |
0001 |
9 |
1001 |
2 |
010 |
2 |
0010 |
A(10) |
1010 |
3 |
011 |
3 |
0011 |
B(11) |
1011 |
4 |
100 |
4 |
0100 |
C(12) |
1100 |
5 |
101 |
5 |
0101 |
D(13) |
1101 |
6 |
110 |
6 |
0110 |
E(14) |
1110 |
7 |
111 |
7 |
0111 |
F(15) |
1111 |
Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую с основанием q можно осуществить путем последовательного деления исходного числа и промежуточных частных на основание q. При этом остаток от первого деления дает младшую цифру числа в новой системе счисления, а остатки от деления промежуточных частных - последующие цифры. Деление заканчивается как только частное будет меньше основания q. Это частное дает старшую цифру числа в новой системе счисления. Особенность способа деления на основание заключается в том, что все вычисления выполняются в исходной системе счисления, в этой же системе получаются и цифры искомого числа. Способ деления на основание можно рекомендовать при переводе чисел из десятичной системы в систему с любым другим основанием.
Перевод правильной дроби из одной системы счисления в другую с основанием q осуществляется путем последовательного умножения исходной дроби и промежуточных произведений на основание q. При этом целая часть от первого произведения дает старшую цифру искомой дроби, а целые части от умножения последующих дробных частей произведения последующие цифры. Умножение продолжается до получения требуемого числа цифр после запятой. При умножении q представляется в системе счисления исходного числа.