8. Содержание общей проблемы оценки надежности решений задач мп. Понятие областей устойчивости.

8. Построение областей устойчивости. Область устойчивости решения относительно вариации правых частей ограничений, коэффициентов функции цели.

Область устойчивости оптимального решения и возможности ее построения

Полученное решение задачи ЛП обладает определенной устойчивостью при изменении ее условий - коэффициентов функции цели, правых частей ограничений, элементов матрицы условий. Принято рассчитывать интервалы изменения перечисленных параметров, в которых структура решения задачи ЛП остается неизменной: сохраняется тот же состав базисных переменных решения, а, следовательно, сохраняется тот же базис. Геометрически это означает, что деформация допустимого многогранного множества решений вызванная изменениями условий задачи, не вызвала изменения оптимальной вершины. Разумеется, количественно решение при этом изменяется.

Методы расчета областей устойчивости решения при одновременном изменении многих элементов матрицы условий очень громоздки и их рассмотрение выходит за рамки нашего курса; интервалы устойчивости решения при изменении любого одного из коэффициентов функции цели или элемента вектора ограничений определяются достаточно просто и стандартно выводятся в листинг при решении задачи ЛП; область устойчивости при одновременном изменении многих коэффициентов функции цели и элементов вектора ограничений может быть построена методами параметрического программирования.

Область устойчивости решения при изменении коэффициентов функции цели.

В данном случае легко видеть, что изменение коэффициентов c1,c2,...,cn на некоторые величины g1,g2,...,gn влияет только на оценки столбцов матрицы условий, и следовательно, на выполнение условий оптимальности.

Отсюда вытекает, что значения вектора g = (g1,...,gn) должны в области устойчивости удовлетворять соотношениям:

Δj + Δj пр. = (Сбаз+gбаз)* B*Аj-(cj+gj)  0, j=1,...,n

Так как произведение BAj, j=1,...,m (для базисных столбцов) дает единичную матрицу, то соответствующие оценки равны 0 и систе­му неравенств следует решать только для небазисных векто­ров-столбцов матрицы условий.

Область устойчивости решения задачи ЛП при изменении эле­ментов вектора ограничений.

В результате решения задачи ЛП (сведенной к каноническому ви­ду - к форме равенств) получим информацию: вектор Х=(x₁,x₂,...,x_m) оптимальных значений базисных переменных (значения небазисных пе­ременных равны 0); вектор оптимальных двойственных оценок ограни­чений задачи Y=(y₁,y₂,...,y_m); матрицу, обратную к оптимальной ба­зисной В; вектор оценок векторов-столбцов матрицы условий Δ=( Δ₁, Δ₂,..., Δ_m,..., Δ_n); при этом все оценки для базисных векторов равны 0, для небазисных – неотрицательны (Δj  0). Мы предполага­ем, что порядок следования векторов матрицы условий, а значит и искомых переменных x_j, коэффициентов функции цели c_j изменен в со­ответствии с их позицией в оптимальном решении; как известно, это не влияет на результаты.

Базисная матрица В размерности (m * m); обратная к ней (обозначим ее через В^-1) служит основой для расчета всех параметров конечной симплексной таблицы; так, из ра­венства ВX = b следует Х = Вb; где Х – вектор базисных компонент опти­мального решения, b - вектор правых частей ограничений задачи; кроме этого, известно:

Δ_j = Сбаз*B*Аj - c_j, где Сбаз=(c₁,c₂,...,c_m) – вектор базисных коэффициентов функции цели; Аj – j-ый столбец матрицы условий; Δ_j - оценка вектора-столбца матрицы условий.

Так как план оптимален, то выполняются условия:

Δ_j  0, j =1,2,...,n – условия оптимальности;

X = Bb  0, – условия допустимости решения.

Пусть вектор правых частей b = (b1,b2,...,bm) не является фиксированным – некоторые из его компонент (или все) изменяются; эти изменения можно задать вектором h = (h₁,h₂,...,h_m), так что правые части ограничений принимают вид: b₁+h₁, b₂+h₂,...,b_m+h_m или в фор­ме вектора b+h, где величины h₁,h₂,...,h_m должны быть такими, что­бы новое решение имело ту же структуру (базис), что и исходное. Отсюда следует, что такие значения вектора h и определяют область устойчивости исходного плана (базиса). Действительно, условия оп­тимальности решения в этой области не зависят от вектора h (базис не меняется), а для выполнения условий допустимости необходимо: X+Xпр = B(b+h)  0

Эти соотношения (система из m линейных неравенств и задают область устойчивости решения относительно изменения правых частей ограничений.

Одновременно можно рассчитать, как изменится значение функции цели задачи в данной области, используя двойственные оценки (они тоже не изменятся, ибо базис сохранился). Используя их экономичес­кое истолкование (количественно определяют изменение функции цели на ед. изменения соответствующего ограничения задачи), получим:

dF(b₁,b₂,...,b_m)

–––––––––––––– = y_i, i=1,2,...,m

db_i

следовательно, dF = F(b₁+h₁,b₂+h₂,...,b_m+h_m)-F(b₁,b₂,...,b_m) = y₁*h₁+y₂*h₂+...+y_m*h_m= (Y,h) = SUM y_i*h_i