Вопросы для подготовки к устному опросу при защите срс по теме

Студент должен знать методику вычисления элементарных показателей динамики, методику и этапы проведения аналитического выравнивания, методику нахождения индексов сезонности и использования их для прогнозирования сезонных явлений. Студент должен и практически уметь выполнить все выше перечислены виды работ.

Методические рекомендации к решению типовой задачи по теме

Проверка ряда на наличие тенденции проводится, например, по критерию Кокса-Стюарта.

Параметры трендового уравнения рассчитывают из системы нормальных уравнений, полученных по методу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений для случая линейного тренда: = а + bt, имеет вид:

, 6.1

где t = 0, 1, 2 . . . . n – значение переменной времени, полученное путем порядкового ранжирования;

n – количество уровней исследуемого динамического ряда;

а и b – неизвестные параметры трендового уравнения;

y – показатели экспорта (импорта) в исследуемом динамическом ряду.

Если число уровней ряда динамики непарное, то центральный уровень ряда принимают за базисный. Отсчет времени переносят в середину ряда: t_{cерединное} = 0; тогда в прошлое идут отрицательные, а в будущее – положительные ранги, и  t = 0, например в пятилетнем ряду: ; ; 0; ; .

В таком случае параметры а и b можно найти по формулам (внимание! Формулы используются только если  t = 0):

, , 6.2

Этапы аналитического выравнивания:

1. Построение эмпирического ряда динамики из фактических уровней ( ).

2. Проверка его на наличие тенденции, например, по критерию Кокса-Стюарта.

3. Выбор аналитической формы выражения связи уровней ряда с фактором времени (функции для аппроксимации тенденции).

4. Расчет параметров трендового уравнения: а - ?; b - ?

Для этого находим:  t;  y; yt;  t² и решаем систему нормальных уравнений 6.1, или, при центрированном ранжировании времени, когда =0, используем формулы 6.2.

Экономическое содержание параметров прямой, которая аппроксимирует тенденцию: параметр а показывает теоретическое (аппроксимированное значение) уровня ряда в нулевом периоде времени; параметр b показывает средний абсолютный прирост (+), или уменьшение (-) уровней динамического ряда за единицу времени.

5. Проверка тесноты и существенности связи.

Для проверки тесноты связи, как правило, применяют теоретический коэффициент детерминации :

, 6.3

где - общая дисперсия уровней динамического ряда;

– дисперсия теоретических значений уровней ряда;

– остаточная дисперсия ( = );

А также применяют теоретическое корреляционное отношение

R = .

Поскольку R = ; то R² = (r)² в случае линейного тренда:

если _

где r – это линейный коэффициент корреляции.

Для оценки существенности связи можно использовать таблицы критических значений коэффициента детерминации R², или рассчитать F – критерий Фишера:

F _{расчетный}. = _

где k₁ – число степеней свободы для дисперсии теоретических значений признака (k₁ = m – 1);

m – число параметров в трендовом уравнении (обычно m = 2, для параболы m = 3)

k₂ – число степеней свободы для остаточной дисперсии, его находят по формуле k₂ = n – m

n – число уровней ряда динамики.

Если F_{расчетное}  F_{табличное}, то связь признается существенной (неслучайной).

6. Если анализ динамического ряда экспорта или импорта определенного товара (услуги) свидетельствует о наличии в динамическом ряду тенденции развития, которая сложилась в течение 5-6 лет, то аппроксимация тенденции и экстраполяция тренда на будущий год позволяют получить прогноз объемов экспорта или импорта соответствующего товара. Это возможно лишь при условии, что связь вариации уровней ряда ( ) с переменной времени ( ) признана существенной. При этом значение прогнозируемого уровня динамического ряда ( _t) получают из уравнения тренда, в котором фактор времени для прогнозного периода ранжируют в принятой для предыдущих расчетов системе ранжирования, продолжая динамический ряд в будущее.

7. Качество прогноза оценивают по относительной ошибке аппроксимации, которая не должна превышать 15%, в крайнем случае допустимым значением считается = 30%

, 6.4.

6. Доверительные пределы прогнозного интервала устанавливают с помощью среднеквадратичной погрешности прогноза.

, 6.5,

где v – период упреждения прогноза.

Для увеличения вероятности попадания прогнозируемого значения уровня динамического ряда в промежуток между расчетных границ доверительного интервала, определяют предельную ошибку прогноза ( ): = ± t·S_e,

где t – коэффициент доверия, который находят по таблицам двусторонних критических значений t-критерия Стъюдента при заданном уровне существенности , или условно берут t 2,5 для = 0,05 так, как анализируемые ряды динамики редко бывают длиннее семи лет.

Решение типового практического задания.

Известные условные данные об объемах экспорта из страны (табл. 6.1):

Таблица 6.1. Объемы экспорта условного товара из страны

за 2008 – 2013 гг.

Год	2008	2009	2010	2011	2012	2013
Порядковый ранг года (ti)	1	2	3	4	5	6
Экспорт, (уi) тыс. дол.	230,0	238,0	252,0	245,0	273,0	269,0
	Первая треть ряда		Середина ряда		Третья треть

Необходимо с помощью аналитического выравнивания определить прогнозируемую экспортную возможность страны на 2014 год, вычислить критерий Фишера, относительную ошибку аппроксимации, предельную ошибку модели для уровня существенности  = 0,05. Сделать выводы.

ЭТАПЫ РАБОТЫ:

1. Проверяем динамический ряд на наличие тенденции по критерию Кокса-Стюарта.

Сравниваем соответствующие уровни ряда третьей и первой третей:

273  230 “+” 2 “+”

269  238 “+” 0 “– ”

Поскольку оба уровня третьей трети больше чем соответствующие уровни первой трети, то, при сравнении их путем вычитания, накапливаются «плюсы» (то есть, имеем показатели абсолютного прироста конца ряда по сравнению с его началом). В таком случае считается, что есть тенденция к росту ряда.

2. Обозначим фактор времени “t” и ранжуем годы от 1 до n:

1; 2; 3; 4; 5; 6 (таб. 6.1).

3. Построим корреляционное поле для визуального подбора формы аналитического выражения связи уровней ряда с фактором «времени»:

Рис.6.1. Корреляционное поле эмпирических значений исследуемого динамического ряда экспорта условного товара из страны за 2008 – 2013 гг.

На корреляционном поле видно, что эмпирические уровни ряда варьируют вокруг мнимой прямой. Следовательно тенденция может быть аппроксимирована с помощью линейной функции вида:

4. Вычислим параметры а и b из системы нормальных уравнений полученных по методу наименьших квадратов:

Таблица 6.2. Вспомогательная расчетная таблица.

Год	Ранг времени	Экспорт уі	t2	yt	y2
2008	1	230	1	230	52900	230,2	0,09	0,04
2009	2	238	4	476	56644	238,6	0,25	0,36
2010	3	252	9	756	63504	246,9	2,02	26,01
2011	4	245	16	980	60025	255,3	4,20	106,09
2012	5	273	25	1365	74529	263,7	3,41	86,49
2013	6	269	36	1614	72361	272,1	1,15	9,61
Итог	21	1507	91	5421	379963	1507,0	11,12	228,60

+

–5b = – 41,9

b = 8,38

а = 221,8

На рассматриваемом временном отрезке оборот по экспорту ежегодно в среднем увеличивался на 8,38 тыс. дол. США. А теоретические (определенные по уравнению прямой) объемы экспорта составляют:

= 221,8 + 8,38 · 1 = 230,2 = 221,8 + 8,38 · 4 = 255,3

= 221,8 + 8,38 · 2 = 238,6 = 221,8 + 8,38 · 5 = 263,7

= 221,8 + 8,38 · 3 = 246,9 = 221,8 + 8,38 · 6 = 272,1

5. Для проверки существенности связи найдем теоретический коэффициент детерминации по формуле 6.3.

Это значит, что на 84,3% динамическое изменение объемов экспорта обусловлено трендом, который сложился в динамическом ряду.

F – критерий Фишера.

где n – число лет = 6

m – число параметров линейного тренда = 2 (а; b).

Табличное, критическое значение F найдем в стандартной таблице (табл. 6.3) исходя из значений (n – m=6-2=4) и (m – 1=2-1=1) и при заданном уровне существенности =0,05.

Критическое значение F = 7,71, это меньше чем полученное расчетное значение F_{расчет.} = 21,5, потому существенность (не случайность) связи считается доказанной.

Таблица 6.3.Критические значения F – критерия Фишера при уровне существенности =0,05.

n – m	m – 1			n – m	m – 1
	1	2	3		1	2	3
3	10,13	9,55	9,28	9	5,12	4,26	3,86
4	7,71	6,94	6,59	10	4,96	4,10	3,71
5	6,61	5,79	5,41	11	4,84	3,98	3,59
6	5,99	5,14	4,76	12	4,75	3,88	3,49
7	5,59	4,74	4,35	14	4,60	3,74
8	5,32	4,46	4,07	15	4,54	3,68	3,29

6. Вычислим относительную ошибку аппроксимации. Для чего используем расчеты во вспомогательной таблице 6.2 и формулу 6.4.

Ошибка не превышает 15%, что означает возможность получения достаточно точного прогноза на 2014 год (ранг t_{прогноз.} = 7)

= 221,8 + 8,38 7 = 280,5 (тыс. дол.)

Для построения интервального прогноза, найдем предельную ошибку модели при уровне существенности   0,05

Таблица 6.4.Значения двустороннего t – критерия Стъюдента при уровне существенности = 0,10; 0,05; 0,01.

n – 1	Уровень существенности			n – 1	Уровень существенности
	0,10	0,05	0,01		0,10	0,05	0,01
3	2,3534	3,1825	5,8409	9	1,8331	2,2622	3,2498
4	2,1318	2,7764	4,6041	10	1,8125	2,2281	3,1693
5	2,015	2,5706	4,0321	11	1,7959	2,2010	3,1058
6	1,9432	2,4469	3,7074	12	1,7823	2,1788	3,0545
7	1,8946	2,3646	3,4995	14	1,7613	2,1448	2,9768
8	1,8595	2,3060	3,3554	15	1,7530	2,1315	2,9467

,

Где – период упреждения прогноза ( = 1 год, поскольку прогноз находим на следующий за известным год)

(тыс. дол.)

Вывод: на 2014 год с вероятностью ошибки не больше 5% можно ожидать объемы экспорта от 280,5 – 26,6 = 253,9 тыс. дол. до 280,5 + 26,6 = 307,1 тыс. дол.