Практическое занятие № 4.Исследование показателей качества переходных процессов в системе с регулятором по отклонению.
Любая САР должна адекватно функционировать при действии различных возмущающих воздействий. Данное свойство САР связано с таким фундаментальным понятием как устойчивость. Проблеме устойчивости посвящено достаточное количество трудов и исследований [1 – 5], поэтому в данном разделе будет рассмотрен прикладной аспект понятия устойчивости применительно к линейным стационарным САР.
Динамические свойства линейных стационарных САР описываются, как было показано ранее, с помощью аппарата передаточных функций. Рассматривая передаточные функции замкнутой САР, полученные по ССДМ рис. 4.32, заметим, что все передаточные функции имеют одинаковый знаменатель
,
который называется характеристическим многочленом.
Уравнение
называется
характеристическим
уравнением,
и корни этого уравнения
влияют на характер переходного процесса.
Если предположить, что передаточная функция разомкнутой САР
,
то характеристическое уравнение
можно переписать в виде
.
Передаточная функция замкнутой системы с неединичной обратной связью
,
то есть
.
Отсюда видно, что характеристический многочлен A(s) располагается в левой части уравнения, следовательно, на характер переходного процесса влияет результат решения однородного дифференциального уравнения
,
где
– переходная (свободная) составляющая
решения.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что при отсутствии кратных корней решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
,
(4.61)
где
– корни характеристического уравнения;
– постоянные интегрирования, определяемые
из начальных условий.
Согласно определению устойчивости, система является устойчивой, если с течением времени переходная составляющая решения будет стремиться к нулю или, более строго,
.
(4.62)
Очевидно,
что условие (4.62) будет зависеть от степени
в выражении (4.61), то есть от корней
характеристического уравнения
.
Рассмотрим наиболее общий случай – наличие пары комплексно-сопряжённых корней
,
тогда соответствующие слагаемые на основании (4.61) примут вид
.
Поскольку соответствующие степени решения согласно формуле Эйлера
являются
гармоническими составляющими, то
затухание переходного процесса будет
зависеть от степени
.
Это возможно, если вещественная часть
корня характеристического уравнения
будет меньше нуля, т. е.
0.
В случае если 0, то амплитуда колебаний переходного процесса будет неограниченно возрастать, а при = 0 будут иметь место незатухающие колебания.
Здесь уместно рассмотреть комплексную s-плоскость для замкнутой САР (рис. 1).
Из рис. 1 видно, что если корни имеют отрицательные вещественные части, т. е. находятся в левой полуплоскости («левые» корни), то САР является устойчивой и переходный процесс затухает.
Если имеют место корни с положительной вещественной частью («правые» корни), то САР является неустойчивой и переходный процесс имеет расходящийся характер.
При = 0 корни являются чисто мнимыми и располагаются на мнимой оси, и замкнутая САР находится на колебательной границе устойчивости, а переходный процесс носит незатухающий характер.
Общее решение дифференциального уравнения САР
,
где
– установившаяся (вынужденная)
составляющая, определяемая как частное
решение неоднородного уравнения.
Тогда поведение устойчивой САР будет характеризоваться пределом
.
Рис. 1. Комплексная s-плоскость
Из сказанного следует, что для определения устойчивости линейной стационарной САР необходимо определить корни характеристического уравнения. Данная задача может быть решена с применением моделирующих программ. Кроме того, применение моделирующих программ может быть сведено к построению ССДМ САР и оценке устойчивости системы при подаче на вход типовых воздействий.
В теории автоматического управления разработаны так называемые критерии устойчивости, позволяющие оценить устойчивость САР без определения корней характеристического уравнения с помощью косвенных показателей.
К этим критериям относятся критерии Рауса-Гурвица, Михайлова, Найквиста и др. Эти критерии позволяют не только оценить устойчивость САР, но и определить условия обеспечения устойчивости.
Критерий Рауса-Гурвица. Данный критерий является алгебраическим и позволяет определить устойчивость САР по коэффициентам характеристического уравнения
.
Для анализа устойчивости необходимо составить определитель Гурвица n-го порядка в следующем виде
.
Для
устойчивости САР необходимо и достаточно,
чтобы, при
0, были положительны определитель Гурвица
и все его диагональные миноры
;
и т. д.
Поскольку
нижняя строка определителя Гурвица
состоит из нулей и коэффициента
,
то
.
Гурвиц показал, что при
САР будет находиться на границе устойчивости.
Для
замкнутой САР
,
поэтому условие перепишется как
и будет соответствовать наличию пары чисто мнимых корней характеристического уравнения, что, в свою очередь, означает нахождение замкнутой САР на колебательной границе устойчивости.
Пример
1.
На основании критерия Рауса-Гурвица
получить условия устойчивости системы
стабилизации частоты синхронного
генератора (см. занятие 1). Определить
критический коэффициент передачи
системы
из условия нахождения системы на
колебательной границе устойчивости и
провести её моделирование.
Решение. Характеристическое уравнение
Определитель Гурвица для
.
Запишем условия устойчивости:
0;
0;
0.
Так
как
0, то
0. Кроме того, из следует также, что
0. Поэтому необходимым
условием устойчивости положительность
всех коэффициентов характеристического
уравнения, а достаточным
условием устойчивости является выполнение
последнего неравенства.
Перепишем неравенство в виде
,
где
;
.
На основании анализа формул видно, что необходимые условия положительности коэффициентов характеристического уравнения выполняются. Для оценки достаточного условия устойчивости вычислим минор второго порядка
Так как полученное число является положительным, то достаточное условие устойчивости выполняется и в целом является устойчивой.
Значение критического коэффициента передачи определится из условия
=
или
.
Тогда
.
Подставив в полученное выражение необходимые значения постоянных времени, найдём критический коэффициент передачи
Проведём моделирование с критическим значением коэффициента передачи в системе MatLab Simulink согласно ССДМ, представленной на рис. 2.
Рис. 2. ССДМ системы с регулятором по отклонению
Результаты моделирования представлены на рис. 3.
, Гц
t,
c
Рис. 3. Переходная характеристика системы с регулятором по отклонению
Из графика видно, что переходный процесс характеризуется незатухающими колебаниями, то есть система находится на колебательной границе устойчивости.
Критерий Найквиста. В инженерной практике также широкое распространение получили частотные критерии устойчивости. Рассмотрим критерий устойчивости Найквиста, который является графоаналитическим и позволяет судить об устойчивости по АФЧХ и ЛЧХ. Дадим формулировку данного критерия без доказательства применительно к минимально-фазовым и неминимально-фазовым системам.
Для устойчивости замкнутой линейной стационарной минимально-фазовой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами – 1; j0.
Пример 2. На основании критерия устойчивости Найквиста оценить устойчивость системы с помощью АФЧХ.
Решение. Определяем передаточную функцию разомкнутой системы
Для построения АФЧХ запишем программу
num=[17.278];
den=[0.0001 0.01325 0.4352 1];
sys=tf(num, den);
nyquist(sys)
Результаты моделирования представлены на рис. 4.
Рис. 4. АФЧХ системы с регулятором по отклонению
На графике штрихпунктирной линией показана окружность единичного радиуса. При изменении частоты от нуля до бесконечности АФЧХ вначале пересекает окружность, а затем отрицательную вещественную полуось, следовательно, АФЧХ не охватывает точку с координатами – 1; j0 и система является устойчивой.
На графике показаны характерные точки, которые необходимы для анализа запасов устойчивости системы.
В
теории автоматического регулирования
выделяют два показателя: запас
устойчивости по фазе
и запас
устойчивости по амплитуде
(модулю)
.
Запас устойчивости по фазе определяется на частоте среза с, которая соответствует точке пересечения АФЧХ c окружностью единичного радиуса. Запас устойчивости больше нуля и определяется по формуле
.
В
нашем примере с
=
33,2 рад/с (At
frequency)
(см. рис. 4.), а запас устойчивости по фазе
(Phase
Margin).
Запас устойчивости по амплитуде определяется на отрицательной вещественной полуоси как соотношение
,
где
.
Частота
π
соответствует значению аргумента
вектора
,
равного
.
В логарифмическом масштабе запас
устойчивости по амплитуде запишется в
виде
.
Поскольку
меньше единицы, то запас устойчивости
по амплитуде всегда больше нуля. В нашем
случае π
= 65,8 рад/с,
дБ (см. рис. 4.).
Покажем
характерные точки и запасы устойчивости
на ЛЧХ, которые изображены на рис. 5.
Поскольку на частоте среза
(рис. 4.), то
.
Таким
образом, частота среза с
соответствует точке пересечения графика
ЛАЧХ
и линии 0 дБ. Запас устойчивости по фазе
определяется по ЛФЧХ как положительный
отрезок от линии
до значения
.
Частота
π
соответствует точке пересечения ЛФЧХ
с линией
и запас устойчивости по амплитуде
определяется как положительный отрезок
от линии 0 дБ до значения
.
Рис. 5. ЛЧХ системы с регулятором по отклонению
Из
анализа графиков на рис. 5 следует
формулировка критерия Найквиста
применительно к ЛЧХ. Для
устойчивости минимально-фазовой системы
необходимо и достаточно, чтобы частота
была больше частоты
с,
Особенности применения критерия Найквиста для неминимально-фазовых систем. Сложнее обстоит вопрос оценки устойчивости неминимально-фазовых систем. АФЧХ неминимально-фазовых систем может пересекать отрицательную вещественную полуось несколько раз. Поэтому в данном случае для оценки устойчивости системы удобно применять правило переходов, сформулированное Я. З. Цыпкиным на основе критерия устойчивости Найквиста.
Переходом
называется точка пересечения АФЧХ
отрицательной вещественной полуоси
слева от точки с координатами (– 1; j0),
т. е. на отрезке
.
При
пересечении АФЧХ данного отрезка из II
квадранта в III
при изменении частоты от 0 до
переход будет положительным и обозначается
+1. При пересечении АФЧХ отрезка
в
направлении из III
квадранта во II-й
переход будет отрицательным и обозначается
–1. Если АФЧХ начинается на этом отрезке,
то имеет место полупереход, который
обозначается
.
Знак полуперехода определяется в
зависимости от направления перемещения
вектора
при изменении частоты от 0 до
.
С учётом введённых понятий соответствующий критерий устойчивости формулируется следующим образом.
Для
устойчивости САР необходимо и достаточно,
чтобы разности между числом положительных
переходов
и числом отрицательных переходов
была равна
,
где l
– число правых корней характеристического
многочлена D(s)
разомкнутой
системы.
Кроме того, наличие интегрирующих звеньев в характеристическом многочлене разомкнутой системы требует дополнительных построений на графике АФЧХ.
Действительно, передаточная функция разомкнутой САР при наличии интегрирующих звеньев
,
где v – число интегрирующих звеньев.
Тогда при изменении частоты от 0 до при ω = 0
.
Тогда модуль передаточной функции
,
а аргумент
,
то
есть АФЧХ начинается в бесконечности
и её фаза стремится к значению
.
Поэтому
начальный участок АФЧХ необходимо
дополнить дугой бесконечно большого
радиуса
по часовой стрелке от вещественной
положительной полуоси, если l
– чётное число, и от вещественной
отрицательной полуоси, если l
– нечётное число.
Пример 3. На основании критерия Найквиста оценить устойчивость САР по АФЧХ и ЛЧХ, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
.
Решение.
Система имеет два интегрирующих звена,
то есть
= 2 и при ω = 0 и аргумент
.
Характеристический многочлен системы
имеет два нулевых корня
и один вещественный положительный
корень
,
следовательно, l
= 1.
Для построения АФЧХ преобразуем передаточную функцию
.
Составляем программу для построения АФЧХ
num=[6 90 300];
den=[0.25 -1 0 0];
sys=tf(num,den);
nyquist(sys)
Результаты моделирования представлены на рис. 6.
Рис. 6. АФЧХ исследуемой системы
Поскольку
l
= 1, то АФЧХ необходимо дополнить дугой
бесконечно большого радиуса по часовой
стрелке от вещественной отрицательной
полуоси, как показано на рис. 6. В результате
имеем отрицательный полупереход
и один положительный переход
.
Разность между числом положительных и
отрицательных переходов
,то
есть замкнутая САР будет устойчивой.
Для построения ЛЧХ необходимо записать программу
num=[6 90 300];
den=[0.25 -1 0 0];
sys=tf(num,den);
bode(sys)
На рис. 7 представлены ЛЧХ исследуемой системы.
Рис. 7. ЛЧХ исследуемой системы
Из
сравнительного анализа полученных
графиков с рис. 6 следует, что дуга
бесконечно большого радиуса будет
начинаться на линии
и даст отрицательный полупереход
.
Положительный переход определяется
при пересечении ЛФЧХ линии
сверху вниз до частоты среза
.
Контрольные вопросы и задачи
Какими методами можно оценить устойчивость САР?
Сформулировать критерий устойчивости Рауса-Гурвица для системы второго порядка.
Сформулировать критерий устойчивости Найквиста с применением АФЧХ и ЛЧХ для минимально-фазовых систем.
Правило переходов.
Оценить устойчивость САР с помощью критерия Рауса-Гурвица, если характеристическое уравнение замкнутой системы
.