Задача 1. Расчет статически неопределимой балки методом конечных элементов.

_{Рассчитать статически неопределимую балку методом конечных элементов и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.}

Решение:

Сформируем матрицу жесткости первого конечного элемента

_{Сформируем матрицу жесткости второго конечного элемента:}

_{Сформируем матрицу жесткости третьего конечного элемента}

_{Сформируем общую матрицу жесткости}

Сформируем вектор перемещений

Сформируем матрицу усилий (нагрузки):

Запишем основное уравнение метода конечных элементов:

Граничные условия: V₁ = 0, V₃ = 0, V₄ = 0.

С учетом граничных условий матрица примет следующий вид

_{Получим:}

Определяем усилия по концам элементов

Рассмотрим 1-ый элемент

Прикладываем полученные узловые силы к узлам 1-го элемента:

Строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил 1-го элемента:

Для контроля выполним проверку

Рассмотрим 2-ой элемент

Строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил 2-го элемента:

Для контроля выполним проверку:

Рассмотрим 3-ий элемент

Прикладываем полученные узловые силы к узлам 3-го элемента:

Строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил 3-го элемента:

Для контроля выполним проверку:

Состыковаем эпюры по участкам, получаем окончательные эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

Список используемой литературы:

1. Конспект лекций по прикладной механике.

2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. – Сопротивление материалов: Учеб. для тех. вузов – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1989. – 624с. – ил.

3. Сапунов В.Т. Классический курс сопротивления материалов в решениях задач: Учебное пособие. Изд. 4-е. – М.: Издательство ЛКИ, 2008. – 160 с.

4. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учебник для вузов. – 10-е изд., перераб. и допол. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999 – 592 с.