14.2. Методы оптимизации технологических процессов.

В зависимости от природы процесса, от характера математической модели, от наличия информации о процессе, от постановки задачи, применяются различные ме­тоды оптимизации процессов (табл. 14.1.)

При решении конкретной задачи исследователь должен выбрать тот метод оп­тимизации, который при наименьших затратах на вычисления давал бы наибольший объем информации об исходном процессе.

Методы оптимизации для детерминированных процессов.

Метод исследования функций с помощью классического анализа является наиболее распространенным способом решения несложных задач оптимизации. Он применяется для решения задач с известным аналитическим выражением критерия оптимальности. Приравнивая нулю производные и решая конечную систему уравне­ний, определяют экстремальные значения параметра оптимизации.

Метод множителей Лагранжа используется для решения таких же задач, как и задач, решаемых методом исследования функций, но при наличии ограничений на независимые переменные. Порядок системы уравнений, которые решаются при на­хождении экстремумов параметра оптимизации, повышается на число ограничений. В остальном процедура поиска решений аналогична.

Таблица 14.1

Методы оптимизации и характер процессов

Методы оптимизации

Характер процесса

I. Аналитические методы: - аналитический поиск экстремума; - метод множителей Лагранжа; - вариационные методы, - принцип максимума Понтрягина. II. Методы математического про­граммирования: - геометрический; - линейный; - динамический. III. Градиентные методы. IV. Автоматические методы с самонастраивающимися моделями. V. Статистические методы: - методы пассивного наблюдения (регрессионный и корреляционный методы анализа); - методы активной оптимизации; - метод Бокса-Уилсони и др.

Детерминированные процессы, описы­ваемые дифференциальными функциями с ограничением и без ограничений. Детерминированные процессы с оптими­зацией алгебраических функций. Детерминированные процессы с оптими­зацией линейных и нелинейных функций с ограничением и без ограничений. Сложные объекты. Стохастические процессы.

Методы вариационного исчисления обычно применяют для решения задач с критерием оптимальности в виде функционалов. Вариационными методами решение задачи сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений Эйлера второго порядка с граничными условиями. Число уравнений системы равно числу неизвестных функций.

Динамическое программирование является эффективным методом решения задач оптимизации дискретных многостадийных процессов, для которых общий кри­терий оптимизации является функцией критериев оптимальности отдельных стадий.

Принцип максимума Понтрягина применяется для оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений. Оптимальное решение нахо­дится путем интегрирования системы дифференциальных уравнений процесса и сис­темы вспомогательных функций с ограничением на обоих концах интервала интег­рирования.

Линейное программирование используется для решения задач оптимизации с линейным выражением для критерия оптимальности и линейными ограничениями на область изменения переменных факторов. Это задача оптимального планирования производства с ограниченным количеством ресурсов. Универсальный алгоритм ре­шения задач линейного программирования содержится в симплексном методе, по­зволяющем за конечное число операций найти оптимальное решение большинства задач.

Методы нелинейного программирования применяют для решения задач опти­мизации с нелинейными функциями параметра оптимизации с ограничениями и без ограничений на независимые переменные.

Методы оптимизации стохастических процессов.

Для оптимизации используют экспериментальные статистические методы. Различают пассивный и активный эксперимент.

Пассивный эксперимент, или как его часто называют, пассивное наблюдение, использует методы математической статистики для обработки информации с целью изучения закономерностей технологического процесса. При этом сбор исходных данных проводится на действующем объекте без введения в процесс искусственных изменений. Обработка данных с целью получения математической модели процесса проводится в основном методами классического регрессионного и корреляционного методов анализа.

Активный эксперимент основан на применении планирования эксперимента. Планирование эксперимента - это проведение эксперимента по заранее составленно­му плану (матрица), обладающему оптимальными свойствами. При планировании учитываются одновременно все факторы, влияющие на процесс, что позволяет вы­явить сразу и силу взаимодействия факторов, и резко сократить общее число опытов для определения оптимальных параметров.

Как в пассивном, так и в активном эксперименте математической моделью яв­ляется функция отклика, связывающая параметр оптимизации с факторами, вклю­чающими на процесс:

Y = f(x₁, x₂,....x_n) (14-3)

При использовании статистических методов математическая модель представ­ляется в виде отрезка ряда Тейлора, записывается уравнение регрессии, а коэффициенты уравнения определяются методом наименьших квадратов.

Регрессионный и корреляционный методы анализа и методы планирования эксперимента при оптимизации технологических процессов приводятся в специаль­ной литературе.