Множество Zn

Пусть n – натуральное число. Введем на множестве целых чисел Z операцию сравнения по mod n: a mod n, a  Z. Операция сравнения по mod n разбивает множество Z на классы эквивалентности, соответствующие остаткам от деления целых чисел на n: 0, 1, 2, … , n–1. Множество классов эквивалентности по mod n образует множество Z_n . Все арифметические операции { +, –, ,  } в Z_n выполняются по mod n .

Пример. Рассмотрим множество Z₂₅ = { 0, 1, 2,…, 24 }. Для элементов этого множества имеем 13 + 16 = 4, 13  4 = 2, 13 – 16 = 22, 15  2 = ?

Определение. Пусть a  Z_n . Мультипликативным обратным элементом элемента a по mod n называется элемент a ^{– 1} , такой что a  a ^{– 1} = 1 mod n. Элемент a называется обратимым по mod n, если для него существует обратный.

Деление в Z_n определяется как умножение на обратный элемент a  b = a  b ^{– 1}, если делитель b обратим.

Пример. В множестве Z₂₅ 2 ^{– 1} = 13, т.к. сравнение 2 x = 1 mod 25 дает решение x = 13. Отсюда 15  2 = 15  2 ^{– 1} = 15  13 = 195 = 20 mod 25.

Утверждение. Элемент a  Z_n обратим в том и только том случае, когда a и n взаимно просты, (a, n ) = 1.

Пример. Обратимые элементы в Z₉ : 1, 2, 4, 5, 7, 8. Для определения 5^–1 решаем сравнение 5 x = 1 mod 9, которое дает решение x = 2. Отсюда 5 ^{– 1} = 2.

Множество Z_n с операцией сложения по mod n образует конечную аддитивную группу порядка n .

Введем множество Z_n^*, определяемое как подмножество множества Z_n, состоящее только из обратимых элементов

Z_n^* = { a  Z_n | (a, n ) = 1 }

Множество Z_n^* с операцией умножения по mod n образует конечную мультипликатив-ную группу порядка (n).

Если n – простое число, то (n) = n – 1 и Z_n^* = { 1, 2, 3, …, n – 1 }.

Определение. Пусть a  Z_n^*. Порядком элемента группы называется наименьшая степень t, в которую нужно возвести элемент, чтобы получить 1 :

a ^t = 1 mod n .

Обозначение t = ord ( a ).

Утверждение. Если ord ( a ) = t и a ^s = 1 mod n , то s делится на t .

Утверждение. Если t – порядок некоторого элемента a  Z_n^*, то (n) делится на t .

Определение. Если ord(a) = (n) для a  Z_n^*, то элемент a называется образующим, или примитивным, элементом группы.

Если в группе есть образующий элемент, то группа называется циклической.

Утверждение. Всякая циклическая группа абелева.

Свойства образующих (примитивных) элементов мультипликативной группы Zn*

1. Группа Z_n^* имеет образующий элемент в том и только том случае, когда

n = 2, 4, p^k, 2p^k , p – простое нечетное число.

2.Если a – образующий элемент Z_n^*, то

Z_n^* = { aⁱ mod n, i = 0, 1, 2, 3, …, (n) – 1 }

3.Если a – образующий элемент Z_n^*, то b = aⁱ mod n является образующим элементом в том и только том случае, когда i взаимно просто с (n), ( i , (n) ) = 1.

4.Если Z_n^* – циклическая группа, то число образующих элементов группы равно  ((n)).

5.Элемент a  Z_n^* является образующим элементом группы в том и только том случае, когда

a^(n)/p  1 mod n

для любого простого делителя p числа (n).

Примеры.

В группе Z₂₁^* (21) = ( 3 – 1 ) ( 7 – 1 ) = 12 элементов: 1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20. Каждый элемент имеет обратный, например, 2 ^{– 1} = 11, 10 ^{– 1} = 19. Группа не является циклической. Ord ( 1 ) = 1, ord ( 8,13,20 ) = 2, ord ( 4,16 ) = 3, ord ( 2,5,10,11,17,19 ) = 6.

В группе Z₂₅^* (25) = 5 ( 5 – 1 ) = 20 элементов. Группа циклическая, содержит ((25)) = (20) = 2 ( 2 – 1 ) ( 5 – 1 ) = 8 образующих.

В группе Z₁₃^* (13) = 13 – 1 = 12 элементов. Группа циклическая, содержит ((13)) = (12) = 2 ( 2 – 1 ) ( 3 – 1 ) = 4 образующих. Элемент a = 2 является образующим, так как 2⁶ = 64 = 12 mod 13  1, ( (13)/2 = 6 ), 2⁴ = 16 = 3 mod 13  1, ( (13)/3 = 4 ).

Найдем остальные образующие элементы: { i | ( i , (n) ) = 1 }= { 1, 5, 7, 11 }.

Образующие элементы – 2, 6, 7, 11:

b₀ = 2¹ mod 13 = 2

b₁ = 2⁵ mod 13 = 32 mod 13 = 6

b₂ = 2⁷ mod 13 = 128 mod 13 = 11

b₃ = 2¹¹ mod 13 = 2048 mod 13 = 7.