2. Вывод аналитического выражения для модуля коэффициента передачи фильтра по линейной колебательной скорости

Коэффициент передачи — также коэффициент преобразования, отношение выходного сигнала к входному. В условиях данной задачи – отношение колебательной скорости на выходе фильтра к ее значению на входе.

Как уже было указано, при переходе к электрической эквивалентной схеме устройства токи в её ветвях рассматривается как аналоги колебательных скоростей в звеньях цепи механической. Обозначим их как i₁ , i₂ , i₃. В свою очередь Z_c - емкостные сопротивления, Z_l и Z_l/2 – индуктивные сопротивления , Z_H – сопротивление нагрузки.

При такой постановке задачи будет оптимальным воспользоваться формулой делителя тока; для тока i₂ получим выражение:

; (1)

Аналогично будет выглядеть формула для тока i₃ :

; (2)

Подставив ранее полученное выражение для i₂ (2) , получим:

; (3)

Теперь распишем емкостное и индуктивное сопротивления: Z_c= -1/jωC, Z_l = , Z_l/2= , где =2 f - круговая частота, С – емкость, L – индуктивность, i= , и раскроем скобки уравнения (3):

i₃ ; (4)

Переходя к механическим аналогам величин, ( , ) получим выражение для колебательной скорости на выходе акустического фильтра:

; (5)

Модулем коэффициента передачи фильтра по колебательной скорости будет модуль отношения к :

; (6)

3. Определение длины узкой и широкой частей фильтра ,а также его полной длины , если верхняя граничная частота фильтра составляет f_в=700Гц

Электрическая схема фильтра представляет собой последовательное соединение двух четырехполюсников, точнее – Т-образных звеньев (Рис. 5)

Рис.5. Т-образное звено.

Способность звена пропускать сигналы определенной частоты зависит от отношения последовательного Z₁ и параллельного Z₂ импедансов. Его численное значение должно лежать в области [-4;0]

Зная это, можем определить границы полосы пропускания акустического фильтра:

; (1)

Где _н – нижняя, _в – верхняя граничные частоты полосы пропускания фильтра

Из теории электрических цепей известно, что максимально эффективная передача мощности от источника к приемнику осуществляется в том случае, если их комплексные сопростивления согласованы между собой.

; (2)

Снова выполним эквивалентную замен электрических величин на механическии аналогично пункту 2, получим выражение для акустического сопротивления нагрузки

; (3)

Множителем, зависящим от частоты можем пренебречь ввиду его малости. Окончательное выражение для Z_на будет иметь вид:

; (4)

Найти размеры фильтра нижних частот можно, приняв во внимание его конструкцию (труба переменного сечения)

. Массу воздуха m_a в узкой части можно выразить как произведение его плотности на объем цилиндра

Используя полученные в пунктах 1, 4 и 5 уравнения , составим и решим систему относительно L и l

(6)

f_в=700 (Гц)

Получив длины широкой и узкой части фильтра, найдем его общую длину L_общ :

L_общ = 2(L+l)=0.5 (м)