2.6. Учет ограничений типа неравенств

В общей постановке задачи линейного программирования при-сутствуют ограничения в виде неравенств (см. раздел 2.1). Оказы-вается, эти ограничения легко перевести в ограничения типа ра-венств за счет введения вспомогательных переменных. Каждому такому ограничению соответствует одна дополнительная перемен-ная. Рассмотрим введение дополнительных переменных на приме-

ре одного ограничения,	заданного с помощью	неравенства
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1 n x n ≤ b1 .	Введем вспомогательную	переменную

u₁ = b₁ − a₁₁ x₁ − a₁₂ x ₂ − ... − a_{1 n} x_n . В условиях исходного ограничения переменная u₁ неотрицательна. Поэтому рассматривается новое ограничение в виде равенства u₁ + a₁₁ x₁ + a₁₂ x ₂ + ... + a_{1 n} x_n = b₁ . Если

имеется k ограничений типа неравенств, то необходимо ввести k вспомогательных переменных. Таким образом, рассматривается новая задача линейного программирования с k + m ограничениями типа равенств и k + n переменными при прежней линейной форме. Если найдено решение новой задачи, то известно наименьшее зна-чение L_Н линейной формы и значения всех переменных

x₁ , x ₂ ,..., x_n , u₁ ,...,u_k . Из полученного решения надо выделить только

32

L_Н и значения переменных x₁ , x ₂ ,..., x_n , что и составит решение ис-ходной задачи.

2.7. Поиск начальной экстремальной точки

Симплексный метод решения требует знания хотя бы одной (любой) экстремальной точки, иначе невозможно начать вычисле-ния. Если размерность задачи велика, то максимальное возможное число экстремальных точек может оказаться очень большим, но согласно теореме 2, приведенной в разделе 2.4, гарантировать можно существование только одной экстремальной точки. Это мо-жет привести к трудоемкому перебору всех возможных ситуаций, для которых проверяется возможность определения экстремальной точки. Поэтому процедуру поиска исходной экстремальной точки целесообразно автоматизировать. Это может быть сделано с помо-щью решения вспомогательной задачи линейного программирова-ния.

Пусть задана задача линейного программирова-ния: S = { x : Ax = b , x ≥ 0} , L = c ^T x , причем b ≠ 0 и b ≥ 0 (этого мож-

но добиться всегда, поскольку при отрицательном b_j соответст-

вующее ограничение можно умножить на -1). Введем новую ли-нейную форму L_Н = y₁ + y ₂ + ... + y_m (все слагаемые предполагаются

неотрицательными) и новую область допустимых решений Ax + y = b , где y – вектор с составляющими y₁ , y ₂ ,..., y_m . Получим

новую задачу линейного программирования. У этой задачи есть очевидная экстремальная точка x = 0, y = b , которую можно взять

за исходную. Решим новую задачу симплексным методом. По-скольку y ≥ 0 , то имеется очевидное наименьшее значение формы

L_H , равное нулю при, этом y = 0 и вектор x принял определенное

значение. Понятно, что справедливо неравенство x ≠ 0 , т.е. содер-жит не нулевые составляющие. В противном случае было бы полу-чено противоречие Ax + y = 0 , поскольку Ax + y = b ≠ 0 . Найден-

ное значение вектора x и будет экстремальной точкой исходной задачи.

33

Следует заметить, что условие b = 0 всегда приводило бы к экс-тремальной точке с нулевыми координатами, поскольку в этом

случае x_B = B ⁻¹b = 0 (см. раздел 2.3).

Контрольные вопросы

1. Какой вид имеют ограничения в задачах линейного про-граммирования?

2. Как записывается уравнение плоскости в многомерном про-странстве?

3. Что такое экстремальная (угловая) точка?

4. Каков алгоритм поиска экстремальных точек?

5. Каков геометрический смысл симплексного метода?