Глава 1. Оптимизация статических объектов

1.1. Понятие статических и динамических объектов

Объект, поведение которого описывается дифференциальными уравнениями, будем называть динамическим. Такие объекты обыч-но рассматриваются в теории автоматического управления. Приме-рами таких объектов могут служить электрические цепи, содержа-щие конденсаторы и индуктивности (например, колебательные контуры, двигатели, R-C цепи и т.д.). Полнота описания таких объ-ектов зависит от конкретных постановок задач регулирования и управления.

Наряду с динамическими объектами имеются статические объ-екты . Простейшим таким объектом является делитель сопротивле-ний. Очень часто динамические объекты с целью упрощения реше-ния задач относят к объектам статическим. Например, электронный усилитель, который входит в состав системы автоматического управления достаточно инерционными устройствами, может с дос-таточной степенью точности описываться коэффициентом усиле-ния. Однако, если объект управления мало инерционен, то в том же усилителе приходится учитывать его динамические характеристики

6

(время нарастания фронта выходного импульса; паразитные связи, возникающие из-за малых паразитных емкостей и т.д.).

Статические объекты в общем случае описываются системами нелинейных уравнений (в простейших ситуациях – системами ли-нейных уравнений), но эти уравнения не являются дифференци-альными.

Динамические объекты, вообще говоря, описываются диффе-ренциальными уравнениями. Но наиболее ощутимые практические результаты связаны, в основном, с использованием линейных диф-ференциальных уравнений.

1.2. Задача нелинейного программирования

Основные понятия нелинейного программирования можно най-

ти в [1].

Пусть x – элемент множества X и f ( x) – функция, заданная

на множестве и принимающая вещественные значения. Задача со-стоит в том, чтобы среди элементов множества X , удовлетворяю-щих ограничениям:

gi ( x ) ≤ 0, hi ( x ) = 0,(i = 1,2,..., n; j =1,2,..., k) ,

(1.2.1)

найти такое x , чтобы для всех элементов x , удовлетворяющих ус-ловиям (1.1), значение f ( x) было наименьшим, т.е. выполнялось

соотношение f ( x ) ≥ f ( x) . Элемент x , удовлетворяющий ограни-

чениям (1.2.1), называется допустимым решением задачи матема-тического программирования. Допустимое решение x называется оптимальным.

Здесь g_i (x) и h_i (x) – функции, определенные на множестве X

и также принимающие вещественные значения.

Ограничения (1.2.1) обычно записываются либо в виде нера-венств, либо в виде равенств.

Элементы x множества X могут иметь самый разнообразный физический смысл.

7

Примеры

Пример 1.1. Рассмотрим школьную задачу (предлагается часто на вступительных экзаменах в вуз). Среди всех прямоугольников заданной площади S₀ найти такой прямоугольник, у которого пе-

риметр P = 2( a +b) имеет наименьшее значение, где a , b – длины сторон прямоугольника.

X – множество всех прямоугольников, x – выбранный прямо-угольник. Ограничений в виде неравенств нет. Имеется ограниче-ние в виде равенства S(x) − S₀ = 0 . Длины сторон a , b прямоуголь-

ника однозначно связаны с выбранным прямоугольником x . По-

этому задачу можно сформулировать	так.	Имеется функция
P = f ( a , b ) = 2( a +b) двух переменных	a , b	(это составляющие

элементов x ). На переменные наложено ограничение ab − S₀ = 0 .

Найти такие a и b , чтобы значение f ( a , b) в условиях действия

ограничения было наименьшим.

Пример 1.2 (заимствован из [1]). Найти наименьшее значение

функции	f (x , x ) = ( x			− 3)2 + ( x − 2)2	при	условиях
	1	2	1	2

x₁² − x₂ − 3 ≤ 0, x₂ − 1 ≤ 0, − x₁ ≤ 0 .

Решение. Здесь X – множество точек плоскости, а также имеет-ся три ограничения в виде неравенств:

g₁ ( x₁ , x₂ ) ≤ 0, g ₂ ( x₁ , x₂ ) ≤ 0, g ₃ ( x₁ , x₂ ) ≤ 0,

где

g ( x , x ) = x ² − x −3,

1 1 2 1 2

g ₂ ( x₁ , x₂ ) = x₂ −1,

g ₃ ( x₁ , x₂ ) = −x₁.

Ограничений в виде равенств нет. Решается эта задача просто из геометрических соображений с применением понятия линий уров-ня [1]. Линией уровня называется множество точек, удовлетво-

8

ряющих условию, f (x₁ , x₂ ) = C , где C – константа. В многомерном случае рассматривается обобщение этого понятия – поверхность уровня, описание которой имеет вид f (x₁ , x₂ ,...x_n ) = C .

Простое решение задачи нелинейного программирования встре-чается редко. Поэтому рассматриваются типовые классы задач, для которых разработаны эффективные методы решения. В остальных ситуациях приходится применять численные методы поиска опти-мальных решений.

Замечания:

• всякое ограничение, записанное в виде неравенства g _i (x) ≥ 0 , может быть сведено к эквивалентному огра-

ничению g _i (x) ≤ 0 , где g_i (x ) = −g _i (x) ;

• задача поиска наибольшего значения функции f ( x) эк-вивалентна задаче поиска наименьшего значения функ-ции f ( x) , где f ( x ) = − f ( x) .