2.4. Основные теоремы об экстремальных точках

Помимо теоремы, рассмотренной в разделе 2.3, имеются и дру-гие важные теоремы.

1.	Число		экстремальных точек не превышает величины
N =	n!		= Cnm (это возможное число перестановок столбцов
	m !(n − m)!
матрицы A ).
2.	У всякого не пустого множества S имеется хотя бы одна экс-
тремальная точка.
			n
3.	Линейная форма L = ∑ci xi достигает наименьшего (или наи-

i=1

большего) значения на множестве допустимых решений в какой-то экстремальной точке.

2.5. Симплексный метод решения задач линейного программирования

Можно перебрать все экстремальные точки и вычислить в них значение линейной формы , получив таким способом решение, но это громоздко, так как что число экстремальных точек может ока-заться очень большим. Поэтому разработан специальный алгоритм направленного перебора экстремальных точек, с помощью которо-го получается каждая последующая экстремальная точка лучше предыдущей. Этот алгоритм называется симплексным методом.

Рассмотрим симплексный метод на примере решения конкрет-

ной задачи.	Найти	наименьшее		значение линейной формы
L = x1 + 2x2	−3x3 + 4x4 при ограничениях:
	x + x − x + 2 x = 2,				(2.5.1)
	1	23	4	= 4.
	x1 − x2 + 2 x3 − x4

Считаем, что все переменные неотрицательны. С целью упрощения дальнейших пояснений найдем некоторые экстремальные точки множества S , заданного рассматриваемыми ограничениями (в дальнейшем станет ясно, что для реализации симплексного метода

27

достаточно найти всего одну, любую экстремальную точку). Будем последовательно приравнивать нулю различные пары переменных.

Например, если x₃ = 0, x₄ = 0 , то (см. раздел 2.4) x₁ = 3, x₂ = −1 . Следовательно, экстремальная точка не найдена.

Положим

x

= 0, x

= 0 , тогда (см.

раздел 2.4)

x

=

8

, x = 0 и

4

1

1

3

2

найдена

первая

экстремальная

точка

xЭ1 , имеющая

координаты

x =

8

, x = 0 ,

x

=

2

, x = 0 .

1

3

2

3

3

4

x1 = 0, x4 = 0 , будет найдена еще

Аналогично,

если положить

одна

экстремальная

точка

с

координатами

x₁ = 0, x ₂ = 8, x₃ = 6, x₄ = 0 .

Пусть первоначально выбрана экстремальная точка x_Э1 с коор-

динатами x₁ = ⁸₃ , x₂ = 0, x₃ = ²₃ , x₄ = 0 . Значение линейной формы в этой точке равно L (x_Э1 ) = ²₃ . Можно ли найти экстремальную точ-

ку, в которой значение линейной формы будет меньше, чем ²₃ ?

Чтобы ответить на этот вопрос перепишем ограничения (2.5.1) в виде

x	− x	= 2 − x	− 2x ,	(2.5.2)
1	3	2	4
x1 + 2 x3 = 4 + x2 + x4 .

Переменные x₁ , x₃ называются базисными. Другие переменные x₂ , x₄ называются свободными. Свободные переменные – это такие,

значения которых в исходной экстремальной точке равны нулю. Любая точка с неотрицательными координатами x₁ , x₂ , x₃ , x₄ , кото-

рые удовлетворяют системе (2.5.1), что эквивалентно системе (2.5.2), является точкой множества S допустимых решений. Решая систему уравнений (2.5.2) относительно базисных переменных, по-лучим

28

x	=	8			−	1		x			− x ,
		3
1						3				2	4
			2				2				(2.5.3)
x	=				+				x		+ x .
		3				3
3										2	4

Всевозможные значения свободных переменных определяют множество допустимых решений и значения линейной формы L , которую можно выразить как функцию свободных переменных

L =	2	−	1	x		+ 0* x .	(2.5.4)
	3
			3		2	4

Заметим, что уравнения (2.5.3) эквивалентны исходным уравне-ниям (2.5.1), кроме того, свободные переменные должны быть не-отрицательными. Попробуем уменьшить значение линейной фор-мы L за счет изменения одной из свободных переменных. Для это-го выберем такую свободную переменную, которая входит в выра-жение (2.5.4) с отрицательным коэффициентом. Это переменная x₂

(если бы переменная x₄ входила в выражение (2.5.4) с отрицатель-

ным коэффициентом, то можно было бы выбрать ее). Поскольку величина x₂ неотрицательна, то ее увеличение возможно, и это

приведет к уменьшению значения L . Казалось бы, можно сколь угодно уменьшать L , однако это не так, поскольку одна из базис-ных переменных может стать отрицательной, что не допустимо. Тогда увеличиваем значение x₂ до тех пор, пока одна из базисных

переменных не станет равной нулю (при этом x₄ остается равной нулю). Такая ситуация происходит при обнулении переменной x₁ , когда x₂ = 8 . Теперь получено одно из допустимых решений, кото-

рое характеризуется следующими значениями координат: x₁ = 0, x ₂ = 8, x₃ = 6, x₄ = 0 , что соответствует другой экстремальной

точке. Оказывается, осуществлен переход от исходной экстремаль-ной точки к другой, более выгодной, экстремальной точке x_Э2 . Это

один вычислительный шаг симплексного метода.

Можно ли найти еще лучшую экстремальную точку? Чтобы от-ветить на этот вопрос, проделаем очередной шаг симплексного ме-тода, считая теперь x_Э2 исходной экстремальной точкой. Теперь

29

базисными переменными являются x₂ , x₃ , а свободными перемен-ными – x₁ , x₄ . Для выполнения очередного шага следовало бы ре-шить систему уравнений (2.5.1) относительно переменных x₂ , x₃ .

Однако решать эту систему нет необходимости, поскольку сущест-вует более простой способ выразить новые базисные переменные x₂ , x₃ через новые свободные переменные x₁ , x₄ . Это делается с

помощью замены одной базисной переменной и одной свободной переменной. Для этого используется уравнение, согласно которому обнуляется одна из базисных переменных. В рассмотренном пер-вом шаге это было первое уравнение системы (2.5.3), из которого следует, что x₂ = 8 − 3 x ₁ −3x₄ . После подстановки последнего соот-

ношения во второе уравнение системы (2.5.3) и в выражение (2.5.4) получим связи между новыми свободными и базисными перемен-ными и зависимость величины L от новых свободных переменных:

x2	= 8 − 3 x1 −3 x4 ,
x3	= 6 − 2 x1 − x4 ,	(2.5.5)

L = −2 + x₁ + x₄ .

Значение линейной формы в новой экстремальной точке равно L ( x_Э2 ) = −2 и не может быть уменьшено, поскольку все свободные

переменные (это в данном случае x₁ , x₄ ) входят в выражение (2.5.5)

с положительными коэффициентами. Напомним, что переменные не могут принимать отрицательных значений. Решение задачи за-кончено. Наименьшее значение линейной формы L равно -2 и дос-тигается в точке с координатами x₁ = 0, x ₂ = 8, x₃ = 6, x₄ = 0 (т.е. в

одной из экстремальных точек).

Можно сделать следующие замечания по анализу знаков коэф-фициентов:

• если бы на окончательном шаге коэффициент при одной из свободных переменных был равен нулю (такая ситуа-ция возможна и наблюдалась на первом шаге решения рассмотренной задачи, что выражение (2.5.4) подтвер-ждает), то существовало бы множество точек, в которых значение линейной формы имеет наименьшее значение, экстремальная точка входила бы в это множество;

30

• если бы на одном из шагов все коэффициенты при сво-бодных переменных в соотношениях, связывающих (см. уравнения (2.5.3)) для примера свободные и базисные переменные, были положительными (или нулевыми), то увеличение выбранной свободной переменной не приве-ло бы к появлению отрицательных значений переменных и не выводило бы из множества S, и в этом случае вели-чину линейной формы можно было бы уменьшать до −∞ , и задача линейного программирования не имела бы решения (это может наблюдаться для не ограниченных множеств S ).

При большой размерности задачи линейного программирова-ния, когда число n переменных велико, базисные и свободные пе-ременные связаны множеством линейных соотношений, например

^x1 ^{= h}1 ^{+ d} m +1,1 ^xm+1 ^{+ ... + d} m + p ,1 ^xm + p ^,

...............................................,

^xk ^{= h}k ^{+ d} m +1, k ^xm +1 ^{+ ... + d} m + p ,k ^xm + p ^,

................................................,

^xm ^{= h}m ^{+ d} m +1, m ^xm +1 ^{+ ... + d} m + p , m ^xm + p ^,

где x₁ , x ₂ ,..., x_m – базисные переменные.

В этом случае для замены одной базисной и одной свободной переменной можно воспользоваться тем уравнением, согласно ко-торому при изменении свободной переменной (например x_{m +1} ) об-

нуляется базисная переменная (например xk ).				Здесь надо решить
уравнение с номером k относительно				величины xm +1 :
x	=	xk − hk − d m +2, k xm + 2 − ... − d m + p ,k xm + p	, и подставить это выраже-
m+1		dm +1,k

ние во все требуемые соотношения. Такая процедура избавляет от необходимости решения на каждом шаге громоздких систем ли-нейных уравнений (хотя при современных программных средствах решение систем линейных уравнений не составляет большого труда).

В трехмерном пространстве можно дать простую геометриче-скую интерпретацию симплексного метода и постановки задачи

31

линейного программирования. На плоскости задан многоугольник, над которым нависает плоскость (описывается линейной формой L ). Требуется найти точку, принадлежащую многоугольнику, в которой линейная форма принимает наименьшее значение. Пусть, например, многоугольник является ограниченным. Ясно, что наи-меньшее значение формы будет достигаться в одной из угловых точек. C помощью симплексного метода осуществляется переход от одной экстремальной точки к следующей, рядом расположенной экстремальной точке, в которой значение линейной формы меньше, чем в предыдущей. Эти переходы продолжаются до тех пор, пока не будет найдена оптимальная экстремальная точка.