- •Глава 1. Оптимизация статических объектов 6
- •Глава 2. Основы линейного программирования 22
- •Глава 3. Способы описания динамических систем 34
- •Глава 4. Применение вариационных методов для поиска
- •Глава 1. Оптимизация статических объектов
- •1.1. Понятие статических и динамических объектов
- •1.2. Задача нелинейного программирования
- •Задачи на условный экстремум, неопределенные множители Лагранжа
- •1.4. Пример применения метода неопределенных множителей Лагранжа для поиска наибольших значений функций
- •1.5. Общая постановка задачи линейного оценивания параметров
- •Глава 2. Основы линейного программирования
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Основные геометрические фигуры в линейном программировании
- •Экстремальные точки
- •2.4. Основные теоремы об экстремальных точках
- •2.5. Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •2.6. Учет ограничений типа неравенств
- •2.7. Поиск начальной экстремальной точки
- •Глава 3. Способы описания динамических систем
- •3.1. Передаточные функции
- •3.2. Описание в форме Коши
- •3.3. Управляемость, наблюдаемость, стабилизируемость, обнаруживаемость
- •3.4. Понятие фильтра и общая задача регулирования
- •Глава 4. Применение вариационных методов для поиска оптимальных управлений
- •4.1. Понятие линейного пространства
- •4.2. Функционал и его вариация
- •4.3. Вычисление вариации функционала
- •4.4. Задача Эйлера
- •4.5. Применение уравнения Эйлера для поиска оптимального закона управления
- •4.6. Уравнение Эйлера – Пуассона и его применение
- •4.8. Неопределенные множители Лагранжа в вариационном исчислении
- •Глава 5. Вариационные задачи с подвижными границами
- •5.1.Основные виды задач с подвижными границами
- •5.2. Скольжение граничных точек по заданным траекториям
- •Глава 6. Принцип максимума
- •Постановка задачи поиска оптимального управления
- •Пояснения к получению принципа максимума
- •6.3. Динамическое программирование
- •Примеры применения динамического программирования
- •Глава 7. Аналитическое конструирование регуляторов (акор)
- •7.1. Постановка задачи
- •7.2. Решение задачи акор
- •7.3. Уравнение Риккати
- •7.4. Общие свойства решения уравнения Риккати
- •7.5. Способы решения уравнения Риккати
- •7.7. Метод диагонализации
- •Глава 8. Случайные процессы в системах управления
- •8.1. Описание случайных процессов
- •8.2. Стохастические дифференциальные уравнения
- •8.3. Прогнозирование (оценивание) значений случайных величин с использованием закона распределения
- •8.4. Линейное оценивание значений случайных величин
- •Глава 9. Фильтр калмана
- •9.1. Постановка задачи
- •9.2. Основные принципы получения формул дискретного фильтра Калмана
- •9.3. Получение формул фильтра Калмана
Экстремальные точки
Далее будем следовать концепциям, изложенным в [1]. Точка A, принадлежащая выпуклому множеству M, называется экстремаль-
ной, если соотношение |
A = λA1 + (1 − λ) A2 (здесь |
A1 , A2 – |
точки, |
принадлежащие M ), |
λ∈(0,1) , справедливо |
только |
при |
A1 = A2 = A .
Приведем примеры. Рассмотрим круг на плоскости. Экстре-мальными точками являются точки окружности, их бесконечное множество.
Другой пример. Имеется на плоскости выпуклый ограниченный многоугольник. Экстремальными точками здесь являются вершины многоугольника (угловые точки). В задачах линейного программи-рования экстремальные точки можно назвать угловыми.
Рассмотрим частный случай множества S допустимых реше-ний: множество такое, которое определяется только ограничениями
24
типа равенств при условии, что все составляющие вектора x |
неот- |
|
|||||||||||
рицательны. |
|
Символически |
это |
записывается |
в |
виде |
|
||||||
S = { x : Ax = b , x ≥ 0} , где |
A – матрица с элементами aij |
, имеющая |
|
||||||||||
m строк и |
n столбцов, |
b – |
вектор с составляющими b1 ,b2 ,...,bm |
|
|||||||||
(далее считаем, что ранг матрицы A равен m и m < n ). |
|
|
|
||||||||||
Имеется |
теорема. |
Точка |
x |
является |
экстремальной тогда и |
|
|||||||
только тогда, когда перестановкой столбцов матрица |
A может |
|
|||||||||||
быть |
представлена |
в |
блочном виде |
A = [B, N ] |
так, |
что |
|
||||||
x B |
B −1b |
B – невырожденная квадратная матрица по- |
|
||||||||||
x = |
|
= |
|
, где |
|
||||||||
x N |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
рядка m , удовлетворяющая условию B −1b ≥ 0 (т.е. есть все состав-ляющие вектора xB неотрицательны).
Эта теорема позволяет принципиально определить все экстре-мальные точки рассматриваемого множества S .
Приведем пример. Пусть множество S задано равенствами
|
|
|
|
|
|
x1 + x2 − x3 |
= 2, |
|
|
(2.3.1) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x1 − x2 + 2 x3 = 4. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Найдем |
все экстремальные |
|
точки |
этого множества. |
|
Здесь |
|
||||||||||||
|
1;1; −1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A = |
|
|
и b = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; |
−1;2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
; |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1;1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Сначала положим |
B = |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
, N = |
|
|
. Найдем B−1 = |
|
1 |
и |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1; −1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
; − |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
B |
−1 |
|
3 |
Фактически |
B |
−1 |
|
|
3 |
|
есть решение системы ли- |
|
||||||||
b = |
|
. |
b = |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нейных уравнений, получаемой из исходной системы (2.3.1) при-равниванием нулю составляющей x3 .
25
Таким образом, значение составляющей x3 принимается равным
|
|
3 |
|
|
|
|
нулю. В итоге |
|
|
. Эта точка не является |
|
||
получаем точку x = |
−1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
экстремальной, |
поскольку составляющая |
x2 |
отрицательна. Эта |
|
||
точка вообще не принадлежит множеству S . |
|
A , что эк- |
|
|||
Имеется возможность переставить столбцы матрицы |
|
|||||
вивалентно смене порядка записи переменных |
x1 , x 2 , x3 |
в системе |
|
|||
уравнений (2.3.1). Перенесем первый столбец на третье место и
положим x1 = 0 . Тогда получим систему уравнений для определе- |
|
|||||||
ния составляющих x1 , x2 . Система имеет вид |
|
|||||||
|
|
x |
− x = 2, |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
−x2 + 2 x 3 = 4. |
|
|||||
После решения последней системы получим x 2 = 8, x3 = 6 и най- |
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|||
дена экстремальная точка |
x |
|
= |
|
8 |
. |
|
|
|
Э1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Все координаты у этой точки неотрицательны. Положим теперь |
|
|||||||
x2 = 0 . Получим систему |
x − x |
|
= 2, |
|
||||
|
1 |
|
3 |
|
|
|
||
|
−x2 + 2 x3 = 4. |
|
||||||
После решения этой системы найдем еще одну экстремальную точ-
|
8 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
ку xЭ2 |
|
0 |
|
|
= |
. |
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
26