Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Vlasov_Metody_optimizacii_i_optimalnogo_upravle...doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
2.03 Mб
Скачать
  1. Экстремальные точки

Далее будем следовать концепциям, изложенным в [1]. Точка A, принадлежащая выпуклому множеству M, называется экстремаль-

ной, если соотношение

A = λA1 + (1 λ) A2 (здесь

A1 , A2

точки,

принадлежащие M ),

λ∈(0,1) , справедливо

только

при

A1 = A2 = A .

Приведем примеры. Рассмотрим круг на плоскости. Экстре-мальными точками являются точки окружности, их бесконечное множество.

Другой пример. Имеется на плоскости выпуклый ограниченный многоугольник. Экстремальными точками здесь являются вершины многоугольника (угловые точки). В задачах линейного программи-рования экстремальные точки можно назвать угловыми.

Рассмотрим частный случай множества S допустимых реше-ний: множество такое, которое определяется только ограничениями

24

типа равенств при условии, что все составляющие вектора x

неот-

рицательны.

Символически

это

записывается

в

виде

S = { x : Ax = b , x 0} , где

A матрица с элементами aij

, имеющая

m строк и

n столбцов,

b

вектор с составляющими b1 ,b2 ,...,bm

(далее считаем, что ранг матрицы A равен m и m < n ).

Имеется

теорема.

Точка

x

является

экстремальной тогда и

только тогда, когда перестановкой столбцов матрица

A может

быть

представлена

в

блочном виде

A = [B, N ]

так,

что

x B

B 1b

B невырожденная квадратная матрица по-

x =

=

, где

x N

0

рядка m , удовлетворяющая условию B 1b ≥ 0 (т.е. есть все состав-ляющие вектора xB неотрицательны).

Эта теорема позволяет принципиально определить все экстре-мальные точки рассматриваемого множества S .

Приведем пример. Пусть множество S задано равенствами

x1 + x2 x3

= 2,

(2.3.1)

x1 x2 + 2 x3 = 4.

Найдем

все экстремальные

точки

этого множества.

Здесь

1;1; −1

2

A =

и b =

.

1;

−1;2

4

1

;

1

1;1

−1

Сначала положим

B =

2

2

, N =

. Найдем B1 =

1

и

1; −1

2

1

; −

2

2

B

−1

3

Фактически

B

−1

3

есть решение системы ли-

b =

.

b =

−1

−1

нейных уравнений, получаемой из исходной системы (2.3.1) при-равниванием нулю составляющей x3 .

25

Таким образом, значение составляющей x3 принимается равным

3

нулю. В итоге

. Эта точка не является

получаем точку x =

−1

0

экстремальной,

поскольку составляющая

x2

отрицательна. Эта

точка вообще не принадлежит множеству S .

A , что эк-

Имеется возможность переставить столбцы матрицы

вивалентно смене порядка записи переменных

x1 , x 2 , x3

в системе

уравнений (2.3.1). Перенесем первый столбец на третье место и

положим x1 = 0 . Тогда получим систему уравнений для определе-

ния составляющих x1 , x2 . Система имеет вид

x

x = 2,

2

3

x2 + 2 x 3 = 4.

После решения последней системы получим x 2 = 8, x3 = 6 и най-

0

дена экстремальная точка

x

=

8

.

Э1

6

Все координаты у этой точки неотрицательны. Положим теперь

x2 = 0 . Получим систему

x x

= 2,

1

3

x2 + 2 x3 = 4.

После решения этой системы найдем еще одну экстремальную точ-

8

3

ку xЭ2

0

=

.

2

3

26

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]