Глава 2. Основы линейного программирования

2.1. Постановка задачи

Задача линейного программирования является одной из частных задач оптимизации, которая допускает строгое алгоритмическое решение.

В многомерном пространстве определяется область допустимых решений с помощью линейных ограничений типа равенств и нера-венств

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ... + a_{1 n} x_n ≤ b₁ ,

……………………………,

……………………………,

……………………………,

a _{k 1} x₁ + a _{k 2} x₂ + ... + a _kn x_n ≤ b_k ,

l₁₁ x₁ + l₁₂ x₂ + ... + l_1n x_n = g₁ ,

……………………………,

……………………………,

……………………………, l_m1 x₁ + l _{m 2} x₂ + ... + l _mn x_n = g_m ,

22

где	aij ,	liν , b j , gν	–	известные	числа
(i = 1,2,..., n; j = 1,2,..., k ; ν =1,2,..., m) .
Допустимое		решение	– это вектор	x с составляющими

x₁ , x₂ ,..., x_n , удовлетворяющими заданным выше ограничениям. Предполагается, что все x_i неотрицательны.

Требуется найти такое допустимое решение, при котором ли-

n

нейная форма L = ∑c_i x_i с известными численными коэффициен-

i=1

тами c_i принимает наибольшее (или наименьшее) значение.

2.2. Основные геометрические фигуры в линейном программировании

Рассматривается ограниченное число фигур:

• точка (вектор с составляющими x₁ , x₂ ,..., x_n );

• прямая линия (или часть прямой линии);

• плоскость (или часть плоскости);

• полупространство;

• пересечение полупространств.

Важным понятием является выпуклое множество, которое стро-ится с помощью перечисленных фигур. Множество M называется выпуклым, если две произвольные точки A,B, принадлежащие M, определяют отрезок прямой, целиком принадлежащий множеству

M.

Уравнение прямой линии, проходящей через две точки A, B , имеет вид x = A + t ( B − A) , где t – параметр, x – точка, принадле-жащая прямой. Символ B − A – это разность векторов A, B , коор-динаты которой совпадают со значениями разностей соответст-вующих составляющих (координат) векторов A, B . Эти векторы определяют рассматриваемые точки.

Уравнение плоскости задается с помощью точки x₀ , через кото-рую проходит плоскость, и вектором P , перпендикулярным плос-

23

кости. Уравнение плоскости записывается в виде равенства нулю скалярного произведения векторов< P ,(x − x₀ ) >= 0 .

Полупространство – это часть пространства, лежащая с одной стороны плоскости, причем плоскость принадлежит полупростран-ству.

Описывается полупространство с помощью неравенства a ^Т x ≤ r , где a^Т – транспонированный вектор a (вектор a имеет

составляющие a₁ , a₂ ,..., a_n ), r – вещественное число.

Легко показывается [1], что являются выпуклыми следующие множества:

• прямая линия;

• плоскость;

• полупространство;

• пересечение полупространств (эту фигуру называют многогранником, она может быть ограниченной или не-ограниченной).