Глава 9. Фильтр калмана

9.1. Постановка задачи

Простой пример. Пусть имеется динамическая система, описы-ваемая разностным уравнением x_{k +1} = 2x_k + ε_{k +1} , где ε_k − незави-симые случайные возмущающие воздействия с параметрами: M[ε_k ] = 0, σ²[ε_k ] =1. Начальное состояние системы известно и рав-но x₀ . Наличие возмущений приводит к тому, что величина x₁ яв-

ляется случайной и ее дисперсия равна 1. Величина x₂ также явля-

ется случайной, но ее дисперсия равна уже 5. Понятно, что со вре-менем дисперсия состояния увеличивается. Поэтому простым рас-четом значения переменной состояния по разностному уравнению не возможно точно контролировать значение этой переменной и приходится ставить средства измерения.

Общей задачей дискретного фильтра Калмана является оцени-вание переменных состояния известной динамической системы заданного порядка с использованием разностных уравнений и всей совокупности предыдущих результатов наблюдения при действии на систему возмущающего случайного воздействия.

9.2. Основные принципы получения формул дискретного фильтра Калмана

Фильтр Калмана предназначен для оптимального оценивания переменных состояния линейной динамической системы, которая подвергается случайным возмущающим воздействиям. В каждый тактовый момент времени для оценивания используется вся сово-купность результатов измерений, которая получена ранее выбран-ного такта времени. Критерием качества оценивания является средний квадрат отклонения оценки от истинного значения пере-менной состояния.

Для построения формул фильтра Калмана используются сле-дующие теоретические результаты [8].

84

1. Основные формулы линейного оценивания: оценки условных математических ожиданий и условных ковариационных матриц (рассмотрены выше).

2. Свойство многомерного нормального закона распределения при наложении дополнительного условия наблюдения. Это свойст-во формулируется следующим образом.

Пусть U – дополнительное условие, при котором рассматрива-ется совместный закон распределения двух случайных векторов x, y (которые рассматриваются при исходных условиях G на-

блюдения). В условиях G известны первые и вторые моменты:

M[x / G], M[ y / G], K[x, y / G] = ^{K11; K12} ,

^K21^{; K}22

где K₁₁ , K₂₂ – ковариационные матрицы векторов x и y соответ-ственно. Тогда имеют место формулы

M[ x / G , U ] = M [ x / G ] + K₁₂ K ₂₂⁻¹ ( y − M [ y / G] ,

K[ x / G , U ] = K₁₁ − K₁₂ K ₂₂⁻¹ K₁₂^T .

3. Пусть известна ковариационная матрица K_ξ случайного век-тора ξ и применено линейное преобразование η = Cξ , где C – из-вестная матрица. Тогда K_η = CK _ξ C^T . Это следует из определения ковариационной матрицы.

9.3. Получение формул фильтра Калмана

Рассмотрим стационарную систему и средства измерения, опи-сываемые разностными уравнениями:

xk +1 = Fxk + bεk +1	,		(9.3.1)
y k +1 = Hxk +1 + Bνk +1 ,
где матрицы F, H и векторы b, B		известны, εk – вектор возму-

щающего воздействия, не зависящий от вектора ν_k ошибок изме-

рений,	причем M[εk ] = M [νk ] = 0 и дисперсии σ2 [ε],σ2[ν] – из-
вестны;	x0 – начальное состояние системы, являющееся случайным

85

вектором с известными математическим ожиданием и ковариаци-онной матрицей m₀ , K₀ .

Все рассматриваемые случайные величины имеют нормальные законы распределения.

Требуется оптимально оценить значения переменных состояния по всей совокупности предыдущих результатов измерения. Введем вектор y_k , состоящий из совокупности векторов y ₀ , y₁ ,..., y_k , по которому будем оценивать вектор состояния x_{k +1} .

Вообще говоря, задача имеет общее решение, правда с исполь-зованием ковариационной матрицы очень большой размерности. Фильтр Калмана представляет собой рекуррентный алгоритм оце-нивания, в котором используется последняя оптимальная оценка

вектора состояния и последний результат измерений.

Пусть известны оптимальная оценка xˆk

= mk

и ковариационная

матрица оценок Kk

= K [ x k / yk −1 ] , а также очередной вектор наблю-

дения

yk . Будем считать, что

yk

есть дополнительное условие U .

Тогда

на

основе

первого

из выражений

(9.3.1)

получим

M [ x k +1 / U ] = FM [ xk

/ U ]

или

xˆk +1 = mk +1 = Fmk . Кроме

того,

M [ y k

/ U ] = Hmk

(см. второе уравнение (9.3.1)). Наконец,

найдем

блоки условной ковариационной матрицы

=

K11 ; K12

состав-

K

k +1

x

k +1

:

T

T

K 21 ; K22

ного вектора m

k K = FK [ x / U ] F

+bK [ε]b

,

11

k

K = FK [ x / U ] H T ,

12

k

K

22

= HK [ x / U ] H T + BK [ν] BT .

k

Поэтому

m

k +1

= Fm + R ( y

k

− Hm ) ,

где

R = K K−1

и

k

k

k

11

22

K

k +1

= K [ x

/ y ] = K − K K

−1 K T .

k +1

k

11

12

22 12

Структурная схема – это наблюдатель. Спроектировать фильтр Калмана – это значит построить алгоритм вычисления матрицы

86

обратной связи в наблюдателе для каждого тактового момента вре-мени.

Контрольные вопросы

1. Что такое линейная оценка случайной величины (и значе-ния случайного процесса)?

2. Каково назначение фильтра Калмана?

3. Какова основная особенность вычисления оценок с помо-щью фильтра Калмана?

4. Что такое условное распределение случайной величины?

5. Что требуется «найти», чтобы сконструировать фильтр Калмана?

87

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование/М.:

Мир,1982.

2. Уилкс С. Математическая статистика/Пер. с англ. М.: Наука,

1967.

3. Рао С. Линейные статистические методы и их примене-ние/Пер. с англ. М.: Наука,1968.

4. Шеффе Г. Дисперсионный анализ/Пер. с англ. М.: Наука,

1980.

3. Власов В.А. Оценки и доверительные интервалы/Учебное по-собие. М.: МИФИ, 2006.

4. Теория автоматического управления/Под ред. А.А. Воронова, Часть 2 М.: Высшая школа, 1986.

5. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2. Статистическая динамика и идентификация систем автоматического управления/Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

6. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления/Пер. с англ. М.: Мир, 1977.

7. Дорф Р. Бишоп Р. Современные системы управления/ Пер. с англ. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.

8. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. Из-дание второе. М: Гос. изд. физ.– мат. лит. 1961.

9. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариацион-ное исчисление. М.: Наука, 2000.

10. Демидович А.А. Основы теории оптимальных автоматиче-ских систем. М.: Наука, 1968.

11. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М.: Наука, 1968.

12. Филипчук Е.В., Королев С.А. Алгоритмы фильтрации в ин-формационно - измерительных системах: Учебное пособие. М.:

МИФИ,1987.

88