8.3. Прогнозирование (оценивание) значений случайных величин с использованием закона распределения

Заменим задачу: вместо точного предсказания значения ξ бу-дем искать такое число q , которое обеспечит наименьшую ошибку предсказания. Используем для этой цели широко распространен-

ный	критерий ошибки	J = M [(ξ − q) 2 ] ,	вычисляемый		согласно
формуле J = ∫ ( x − q ) 2 pξ ( x )dx . Приравняем производную					∂J к ну-
					∂q
лю	(дифференцирование	производится	под	знаком	интегра-
ла): ∫ ( x − q ) pξ ( x ) dx = ∫ xpξ ( x ) dx − q ∫ pξ ( x ) dx = 0 .				С учетом	опреде-

ления математического ожидания получим q = M [ξ] . Этот простой

результат можно сразу обобщить . Поскольку законы распределе-ния всегда являются условными, то при использовании критерия

81

ошибки J = M [(ξ − ξ) ² ] , где ξ – оценка для ξ , оптимальной оцен-

кой ξ0 является условное математическое ожидание:
ξ0 = M y [ξ] = ∫ p yξ ( x )dx .	(8.2.2)

8.4. Линейное оценивание значений случайных величин

Рассматриваются две коррелированные случайные величины ξ₁ , ξ₂ , причем величина ξ₂ наблюдается, а величина ξ₁ – нет. Тре-

буется построить оптимальную линейную оценку ξ^ˆ₁ = aξ₂ +b для величины ξ₁ .

Для поиска постоянных коэффициентов минимизируем крите-рий J = M[(ξ^ˆ ₁ −ξ₁ ) ² ] среднеквадратичного отклонения и будем считать известными все моменты первого и второго порядков. За-

писывая J = M [(a ξ ₂ − ξ ₁ +C) ² ] , где C = aM [ξ₂ ] + b − M [ξ₁ ] , рас-крывая квадрат суммы и пользуясь свойствами математического

ожидания, получим J = a 2 σ2[ξ

2

] − 2 aK [ξ ,ξ

2

] + σ 2 [ξ

2

] +C2 .

1

Приравнивая частные производные ∂J

,

∂J

нулю, найдем опти-

∂C

∂a

мальные

значения

коэффициентов:

a =

K [ξ1 ,ξ2 ]

,C = 0,b = M [ξ ] −

K[ξ1 ,ξ2 ]

M[ξ

] – и вид оценки ξ

:

σ2 [ξ2 ]

1

σ2 [ξ2 ]

2

1

ξˆ

= M [ξ ] +

K[ξ1 ,ξ2 ]

(ξ

− M[ξ

]) , причем

минимальное значе-

σ2 [ξ2 ]

1

1

2

2

ние J0 критерия равно

J

0

= σ 2 [ξ ](1−ρ2 ) ,

1

где ρ =

K[ξ1

,ξ2 ]

– коэффициент корреляции между величина-

σ2 [ξ ]σ2 [ξ

2

]

1

м и ξ₁ ,ξ₂ .

82

При нормальном законе распределения последние выражения определяют условное математическое ожидание и условную дис-персию величины ξ₁ .

Решена [2,3,5] общая задача линейного оценивания случайного вектора ξ⁽¹⁾ , который не наблюдается в некотором эксперименте, по результатам наблюдения другого вектора ξ⁽²⁾ , коррелированно-го с ξ⁽¹⁾ . Оценка ξ^ˆ(1) имеет вид

ξ^ˆ(1) = m₁ + K₁₂ K ₂^{− 1} (ξ⁽²⁾ − m₂ ) ,

где

m = M [ξ(1) ], m

2

= M [ξ(2) ] ; K

12

, K

2

являются блоками кова-

1

риационной матрицы

Kξ объединенного вектора

ξ(1)

, так

ξ =

(2)

ξ

K

1

, K

12

что

,

причем K1 –

это ковариационная матрица

Kξ =

K 21 , K 2

вектора ξ⁽¹⁾ , K ₂ — ковариационная матрица вектора ξ⁽²⁾ .

В условиях нормального закона распределения вектора ξ выра-жение для ξ^ˆ(1) определяет условное математическое ожидание век-тора ξ⁽¹⁾ . Кроме того, легко вычисляется условная ковариационная матрица K_y вектора ξ⁽¹⁾ :

K _y = K₁ − K₁₂ K ₂⁻¹K ₂₁ .

Все составляющие вектора ξ⁽¹⁾ оцениваются с минимальными среднеквадратическими отклонениями от составляющих вектора ξ⁽¹⁾ .

Контрольные вопросы

1. С какой целью рассматриваются гауссовские случайные процессы?

2. Что такое стационарный случайный процесс?

3. Для чего используется понятие белого шума?

4. Является ли белый шум гауссовским случайным процес-сом?

5. Что такое стационарный случайный процесс в широком смысле?

83