8.2. Стохастические дифференциальные уравнения

Стохастическое дифференциальное уравнение – это такое урав-нение, в котором управляющим воздействием является случайный процесс, т.е. оно имеет вид

x = A(t ) x (t ) + B (t )ξ( t ) ,

(8.2.1)

где ξ(t ) – векторный случайный процесс.

Решением стохастического уравнения является выходной слу-чайный процесс. Решить стохастическое дифференциальное урав-нение – значит найти описание этого выходного случайного про-цесса.

Если входной случайный процесс является белым шумом, то го-ворят, что рассматривается система, возбуждаемая белым шумом.

Поскольку [8,13] стационарный случайный процесс с известной спектральной плотностью может быть сформирован с помощью белого входного шума и определенной линейной динамической системы, то обычно и рассматриваются системы, возбуждаемые белым шумом. Более того, если считать, что выходной случайный процесс является гауссовским, то решение стохастического диффе-ренциального уравнения предполагает поиск зависимости матема-тического ожидания выходного процесса от времени и его корре-ляционной функции.

Пусть имеется динамический объект, описываемый стохастиче-ским дифференциальным уравнением (8.2.1), возбуждаемый белым шумом и находящийся в начальный момент времени t₀ в состоянии

x₀ , которое является нормально распределенным случайным век-тором с известным математическим ожиданием m₀ и известной ковариационной матрицей Q₀ . Тогда выходной случайный процесс

имеет следующие математическое ожидание и корреляционную функцию [8]:

M [ x ( t )]) = Ф( t , t ₀ )m₀ ,

80

min( t₁ , t₂ )

K (t₁ , t ₂ ) = Ф( t₁ , t ₀ )Q₀ Ф^T (t ₂ , t ₀ ) + _∫ Ф( t₁ , τ) B (τ )Q (τ )B ^T (τ ) Ф^T (t ₂ , τ ) dτ.

^t0

Эти выражения получаются с использованием формул

t

x(t ) = Ф(t , t ₀ )x₀ + _∫Ф(t ,τ)B (τ ) w(τ ) dτ , (8.2.2)

^t0

_∫ f (t )δ(t − t ₀ )dt = f (t₀ ) для любой f ( t ) и переменой операций ин-

тегрирования и вычисления математического ожидания. Например, вычисление математического ожидания обеих частей

равенства (8.2.2) приводит к результату

M [ x (t )] = Ф(t , t 0 ) M [ x0 ] + ∫t			Ф(t , τ )B (τ ) M [ w(τ )]dτ = Ф(t , t 0 )m0 ,
		t 0
поскольку для белого шума M [ w( t )] = 0 .
Для получения K ( t , t	2	) следует вычислить M[ x (t ) x T (t )] и вос-
1
пользоваться формулой (8.2.2).