Глава 8. Случайные процессы в системах управления

8.1. Описание случайных процессов

Случайным процессом ξ(t ) называется случайная величина, за-

висящая от параметра t .

Параметр t на практике может быть, например, временем или расстоянием и т. д.

Полным описанием случайного процесса является совместный закон распределения случайных величин ξ( t₁ ),..., ξ( t_n ) при произ-

вольных значениях n , t₁ ,...,t_n .

На практике используют метод моментов (первого и второго порядков), т.е. зависимость математического ожидания M [ξ(t )] = m (t ) от времени и зависимость ковариационного момента

77

K(t₁ , t ₂ ) = M [ξ (t₁ )ξ(t₂ )] от двух произвольных моментов времени.

Точка означает знак центрирования.

Наиболее распространенным является гауссовский случайный процесс, когда совокупность величин ξ( t₁ ),..., ξ( t_n ) подчиняется

многомерному нормальному закону распределения, плотность рас-пределения которого имеет вид

p (x₁ ,..., x_n ) = C exp{− ¹₂ Q[(x₁ − m₁ ),...,(x_n − m_n )} ,

где: m_i = M [ξ(t_i )] , Q – квадратичная форма, задаваемая матрицей,

обратной к ковариационной, C – нормировочный множитель. Гауссовский случайный процесс полностью описывается функ-

циями m ( t) и K ( t₁ , t₂ ) .

Наиболее часто используют стационарный в широком смысле гауссовский случайный процесс, для которого математическое ожидание не зависит от времени (является постоянным) и

K (t₁ ,t ₂ ) = K (τ ), τ = t ₂ − t₁ .

Наряду с ковариационной функцией используется спектральная плотность, которая является преобразованием Фурье от ковариаци-онной функции. Чтобы понять смысл спектральной плотности, следует рассмотреть некоторые примеры.

Пример 8.1.1. Рассмотрим случайный процесс ξ( t ) = V cos ωt +U sin ωt , где некоррелированные случайные вели-

чины, имеющие нулевые математические ожидания, и одинаковые

дисперсии σ² . Установим, что этот процесс является стационар-ным в широком смысле.

Ясно, что M [ξ(t )] = M [V ]cos ωt + M [U ]sin ωt = 0 . Далее,

K (t₁ , t ₂ ) = M [{(V cos ω t₁ + U sin ω t₁ )(V cos ω t ₂ + U sin ωt₂ )}] =

• σ ² (cos ω t₁ cos ω t ₂ +sin ω t₁ sin ωt₂ ),

• поэтому K (t₁ , t ₂ ) = σ ² cos ω(t ₂ − t₁ ) = σ² cosωτ .

Таким образом, рассмотренный случайный процесс является стационарным в широком смысле. Кроме того, имеет место равен-

ство σ² [ξ(t )] = K (t , t ) = K (0) = σ² .

78

Пример	8.1.2.	Рассмотрим	случайный	процесс
n
ξ(t ) = ∑(Vi	cos ωi t +U i	sin ωit) , где все	Vi ,Ui являются некоррели-

i=1

рованными, имеют нулевые математические ожидания и их дис-

персии равны σ2 (V ) = σ2 (U

) = σ2

. Повторяя рассуждения,

приве-

i

i

i

получим, что M [ξ(t )] = 0 и

денные в

первом

примере,

K (t , t

) = K (τ) =

n

σ2 cosωτ

.

Таким образом,

рассматриваемый

2

∑

1

i

i

i=1

случайный

процесс

является

стационарным в широком смысле.

n

Кроме того, имеет место равенство σ2 [ξ(t )] = ∑σi2 .

i=1

Спектральной плотностью S (ω) называется преобразование

Фурье от ковариационной функции, т. е. S (ω) =

2

∞∫[ K (τ )cos

ωτ ]dτ

π

0

∞

и

соответственно

K (τ) = ∫[ S (ω )cos ωτ ]d ω .

Понятно,

что

0

σ² [ξ( t )] = ^∞_∫S (ω ) d ω .

0

Спектральная плотность характеризует вклад в дисперсию слу-чайного процесса дисперсий гармоник различных частот.

Кроме гауссовского случайного процесса большое применение находит специфический случайный процесс, называемый белым шумом. Математическое ожидание такого процесса равна нулю, а его спектральная плотность является постоянной величиной S (ω) = C . Обратное преобразование Фурье (корреляционная функ-

ция) от такой спектральной плотности выражается с помощью δ(τ)

– функции, т.е. K (τ) = Cδ(τ) . Для многомерного белого шума [8] вместо константы C используется положительно определенная функция Q ( t₁ ) , которая называется матрицей интенсивностей, так что K ( t₁ , t ₂ ) = Q ( t₁ )δ( t ₂ − t₁ ) .

79