7.7. Метод диагонализации

Рассмотрим динамическую систему, описываемую уравнением ^dx_dt = ax +bu , x(0) = x₀ , подлежащую управлению на бесконечном

интервале времени, и критерий оптимальности					J = ∞∫ (x 2 +u 2 )dt ,
					0
так что система (7.5.1) имеет вид	x			1; −1 x
			=		.
	p		−1; −1 p

75

Имеются два собственных значения, которые получаются с по-

мощью решения

уравнения

λ −1;

1

= λ2 −1 − 1 = 0 ,

равные

1 ; λ +1

λ1 = 2, λ2 = −

2 .

Найдем собственные векторы. Пусть λ =

2 , тогда следует ре-

шить систему

1; −1 x

=

2

x

эквивалентную следующей

1

1

,

−1; −1 x2

x2

вырожденной

однородной

системе:

x

− x

=

2x

1

2

1

. Полагая

− x

− x

=

2x

1

2

2

x1 =1 , получим x2

= 1 −

2 . Таким образом,

найден первый собст-

венный вектор

x1c

1

=

. Аналогично находится второй собст-

1 −

2

венный вектор, линейно независящий от первого: x2c

=

1

.

+

2

1

Составим матрицу из собственных векторов

1

;

1

W =

−

2;1 +

.

1

2

W

−1

V11 ;V12

1

1 +

2;

−1

Обратная матрица равна

=

=

. Матри-

V21 ;V22

2 2

2

−1; 1

ца Риккати P = −V −1V

= 1 +

2 .

р

12 11

М атрицу Риккати можно было бы найти и с помощью решения стационарного уравнения РиккатиR₁ − P_р BR₂⁻¹ B ^T P_р + A^T P_р + P_р A = 0 , которое в данном случае является обычным квадратным уравнени-

ем P_р ² − 2 P_р − 1 = 0 . Из дальнейших рассуждений последует, что

необходимо выбрать положительный корень, так как это приведет к использованию отрицательной обратной связи, поэтому

P_р = 1 + 2 .

76

Учтем соотношения u (t ) = −F (t ) x (t ) и F (t ) = R₂⁻¹ (t ) B ^T (t ) P_р (t ) ,

которые в данном случае принимают вид F (t ) = 1 + 2 (данное вы-

ражение не зависит от времени). Таким образом, оптимальное управление можно реализовать с помощью стационарной обратной связи.

Контрольные вопросы

1. Что такое матрица Коши?

2. Каков вид критерия оптимальности в задачах аналитиче-ского конструирования регуляторов?

3. Используется ли равенство нулю вариации функционала при решении задач аналитического конструирования регу-ляторов?

4. С какой целью рассматривается уравнение Риккатти?

5. В каком случае задача аналитического конструирования ре-гуляторов является стационарной?