7.3. Уравнение Риккати

Имеется неудобство решения уравнения системы (7.2.9), по-скольку приходится использовать краевые условия наряду с на-чальными условиями. Поэтому существует способ поиска решения оптимальной задачи с применением уравнения Риккати.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений уравне-нием Риккати называют нелинейное уравнение вида:

^dy_dx = a (x ) y ² (x ) + b (x ) y (x ) + c (x) .

Оказывается, что с помощью математических преобразований можно заменить решение системы (7.2.9) решением матричного дифференциального уравнения, которое внешне похоже на уравне-ние Риккати. Для получения матричного уравнения Риккати рас-смотрим матрицу Коши, соответствующую системе (7.2.9) и запи-

				θ (t , t );θ (t , t )			, так что имеет
шем ее в блочном виде θ(t ,t1 ) =				111121
				θ 21 (t , t1 );θ22 (t , t1 )
место соотношение	x ( t)		x (t )			. Поэтому имеют место
			= θ(t ,t1 )		1
	p (t )		p (t1 )

равенства:

x(t ) = θ₁₁ (t , t₁ ) x (t₁ ) +θ₁₂ ( t , t₁ ) p (t₁ ), p(t ) = θ ₂₁ (t , t₁ ) x (t₁ ) +θ₂₂ (t , t₁ ) p (t₁ ).

Учитывая, что p ( t₁ ) = P₁ x (t₁ ) , получим

68

x(t ) =[θ₁₁ (t , t₁ ) + θ₁₂ (t , t₁ ) P₁ ] x ( t₁ ), p(t ) = [θ₂₁ ( t , t₁ ) +θ₂₂ (t , t₁ ) P₁ ] x (t₁ ).

На основе последних соотношений (выразим из первого соот-ношения x( t₁ ) и подставим его во второе уравнение) получим связь

между векторами p(t ) и x(t ) :

p(t ) = [θ₂₁ (t , t₁ ) + θ ₂₂ (t , t₁ )P₁ ][θ₁₁ (t , t₁ ) +θ₁₂ (t , t₁ )P₁ ]⁻¹ x (t) .

Введем матрицу Риккати P_р ( t ) :

P ( t ) = [ θ		21	(t , t ) + θ	22	(t , t ) P ][θ (t , t ) + θ					( t , t ) P ]−1		,	(7.3.1)
р			1		1	1	11	1	12	1	1
так что	p(t ) = Pр ( t ) x (t ) ,					тогда		с	учетом		(5.7)		получим
u (t ) = −F (t ) x (t ) , где F (t ) = R −1 (t ) B T (t ) P ( t ) .
						2		р

Таким образом, если известна матрица Риккати, то оптимальное управление можно осуществить с помощью обратной связи.

Оказывается, что для поиска матрицы Риккати следует решить матричное дифференциальное уравнение первого порядка. Это уравнение получается путем дифференцирования выражения для матрицы P_р ( t ) .

Поскольку при дифференцировании выражения (7.3.1) придется дифференцировать обратную матрицу, то сначала следует устано-вить правило дифференцирования обратной матрицы. Для этого продифференцируем обе части очевидного матричного равенства M (t )M ⁻¹ (t ) = E , получим

dM (t )

M −1 (t ) + M (t )

dM −1 (t )

= 0 .

dt

dt

Откуда следует

dM −1 ( t )

= −M

−1

(t )

dM (t )

M

−1

(t ) .

(7.3.2)

dt

dt

Согласно выражению (7.3.2) производная от обратной матрицы может быть выражена через блоки матрицы M (t ) и производные

от этих блоков.

Получим более сильное утверждение, пользуясь свойствами матрицы Коши. Поскольку имеет место матричное дифференци-альное уравнение

69

A(t ); −B (t ) R

−1

(t ) B

T

(t )

θ (t );θ (t )

θ (t );θ (t )

=

,

11

12

2

11

12

θ

(t );θ

(t )

− R

( t ); −AT ( t )

θ21 (t );θ22 (t )

21

22

1

то производные от блоков матрицы могут быть выражены через сами блоки, например, θ₁₁ (t ) = A(t )θ₁₁ (t ) − B (t )R₂⁻¹ (t )B ^T (t )θ₂₁ (t) .

Подстановка выражений производных от блоков, зависящих от самих блоков, в выражение для производной от P_р ( t ), полученной

с помощью формулы (7.3.1), и использование при преобразованиях обычных алгебраических матричных операций приводит к сле-дующему уравнению [8]:

	−1		(t )B	T	(t )Pр (t) +
− Pр (t ) = R1	(t ) − Pр (t )B (t )R2
+ P (t ) A( t ) + AT (t )P (t).					(7.3.3)
р	р
Уравнение (7.3.3) называется уравнением Риккати.
Для матрицы	Pр ( t ) можно	получить начальное условие:

P_р ( t₁ ) = P₁ , подставляя t = t₁ в выражение (7.3.1), где P₁ – матрица, входящая в постановку задачи АКОР.