Глава 7. Аналитическое конструирование регуляторов (акор)

7.1. Постановка задачи

Описание ОУ: x = A(t ) x (t ) + B (t )u ( t ) . Управлению подлежит z(t ) = D (t ) x (t ) . Требуется «прижать» сигнал z( t ) к желаемому сиг-налу r ( t ) = 0 на интервале времени [ t ₀ , t₁ ] . Имеются начальные ус-ловия x( t ₀ ) = x₀ . Далее для простоты рассматривается случай, когда z(t ) = x ( t ).

Критерий качества управления имеет вид

J = ^t_∫¹ [ x ^T (t ) R₁ ( t ) + u ^T (t ) R₂ ( t )u (t )]dt + x ^T (t₁ ) P₁ x (t₁ ) ,

t 0

где матрицы R₁ ( t ), R₂ ( t ), P₁ обладают свойством положительной оп-

ределенности.

Движение описывается выражением

x( t ) = Ф(t , t ₀ ) x (t ₀ ) + _∫^t Ф( t ,τ) B (τ ) u (τ ) dτ ,

t 0

63

где Ф(t , τ) – матрица Коши, имеющая свойства:

• x( t ) = Ф( t , t ₀ ) x ( t₀ ) , если отсутствует управляющее воздейст-вие (происходит свободное движение при u (t ) = 0 );

• _dt^d Ф(t , t ₀ ) = A( t)Ф(t , t₀ ) ;

• Ф( t ₀ , t ₀ ) = E (единичная матрица);

• Ф( t ₂ , t ₀ ) = Ф( t ₂ , t₁ )Ф( t₁ , t₀ ) ;

• Ф⁻¹ (t , t₀ ) = Ф(t ₀ , t) ;

• _dt^d Ф^T (t ₀ ,t ) = −A^T (t )Ф^T (t ₀ ,t) .

7.2. Решение задачи акор

Пусть u ⁰ (t ) – оптимальное управляющее воздействие и x⁰ (t ) – оптимальное движение. Введем вариацию u (t ) управляющего воз-

действия и вычислим вариацию функционала (критерия J ), учи-тывая линейность объекта управления.

Поскольку новое (возмущенное) движение x(t ) = x ⁰ (t ) +δ(t ) при новом управляющем воздействии u_н (t ) = u ⁰ + λu (t ) находится из уравнения x ⁰ (t ) + δ (t ) = A(t ) x ⁰ (t ) + A(t )δ(t ) + B (t )u ⁰ (t ) + B (t )λu (t ) и x⁰ (t ) = A(t ) x ⁰ (t ) + B (t ) u ⁰ (t ) , то δ(t ) = A(t )δ(t ) + λB (t )u (t ) , где

δ(t₀ ) = 0 , Кроме того, возмущению u (t ) управляющего воздействия соответствует возмущение x(t ) движения, удовлетворяющее усло-

вию δ( t ) = λx (t ) , причем
x (t ) = ∫t	Ф(t ,τ)B (τ )u (τ ) dτ .	(7.2.1)
t0

Новое значение J_н функционала можно записать в виде

64

t1

J _н = _∫ [ x ^T (t ) R₁ ( t ) x ( t ) + u _н^T ( t ) R₂ (t )u _н (t )]dt + x ^T ( t₁ ) P₁ x ( t₁ ) =

^t0

= ^t_∫¹ [ x ^{0 T} (t ) R₁ ( t ) x ⁰ (t ) + u ⁰ (t ) R₂ (t ) u ⁰ (t )]dt + x ^{0 T} ( t₁ ) P₁ x ⁰ ( t₁ ) +

t₀

t1

+2 λ{_∫[ x ^T (t ) R₁ ( t ) x ⁰ (t ) + u ^T (t ) R₂ (t )u ⁰ (t )]dt + x ^T (t₁ ) P₁ x ⁰ ( t₁ )} +

t₀

t1

+λ²{_∫[ x ^T (t ) R₁ (t )x(t ) + u ^T (t ) R₂ (t )u (t )]dt + x ^T (t₁ ) P₁ x (t₁ )}.

^t0

Вычисление вариации δJ функционала по формуле _∂^∂_λ J_н при

λ = 0 и приравнивание ее нулю приводит к условию экстремума

δJ = ^t_∫¹ [ x ^T (t ) R₁ (t ) x ⁰ (t ) + u ^T (t ) R₂ (t )u ⁰ (t )]dt + x ^T (t₁ ) P₁ x ⁰ (t₁ ) = 0 . (7.2.2)

t 0

Исключим из выражения (7.2.2) с помощью соотношения (7.2.1) функцию x(t ) , получим

t1	t
∫ [{∫Ф(t , τ ) B (τ )u (τ ) dτ}T R1 (t ) x 0 (t )} +u T ( t ) R2 (t ) u 0 (t )]dt +
t 0	t0
+ x T (t ) P x 0			(t ) = 0.
	1	1	1

Теперь в условии экстремума осталась вариация только одного аргумента. Далее следует преобразовать условие экстремума к та-кому виду, чтобы можно было воспользоваться основной леммой вариационного исчисления.

Последнюю запись можно представить в виде

t∫1 [{ ∫t	u T (τ ) B T (τ )ФT (t , τ ) dτ}R1 (t ) x 0 (t ) + u T (t ) R2	(t ) u 0 (t )]dt +	(7.2.3)
t 0 t 0

+ x ^T (t₁ ) P₁ x ⁰ (t₁ ) = 0.

Отметим одно свойство двойного интеграла, связанного с заме-ной порядка интегрирования функции двух аргументов

65

t1	t	t1	t1
∫ [ ∫ ψ (t , τ) dτ ]dt = ∫ [ ∫ψ(t , τ ) dt ]dτ .
t 0	t0	t0	τ

Введем обозначение ψ(t ,τ ) = u ^T (τ ) B ^T (τ ) Ф^T (t ,τ) R₁ (t ) x ⁰ ( t ) в вы-ражении (7.2.3), поменяем порядок интегрирования для первого слагаемого

t1	t
S = ∫ [ ∫u T (τ ) B T (τ ) ФT (t , τ ) R1 (t ) x 0 ( t ) dτ]dt =
t 0	t0	(7.2.4)

t₁ t₁

= _∫ [ _∫u ^T (τ ) B^T (τ )Ф^T (t , τ ) R₁ ( t ) x ⁰ (t ) dt ]dτ.

t ₀ t

Учитывая, что результат интегрирования не зависит от обозна-чения переменных, используем в выражении (7.2.4) замену: вместо буквы τ применим символ t , а вместо буквы t – символ τ . Тогда получим, что первое слагаемое в соотношении (7.2.3) можно запи-сать в измененной форме

	t1 t1
	S = ∫ [ ∫u T ( t ) B T ( t )ФT (τ, t )R1 (τ ) x 0 (τ ) dt ]dτ .
	t 0 t
	Теперь условие (7.2.3) принимает вид
t1	t1
∫ u T ( t ){ B T ( t )∫ФT (τ , t ) R1 (τ )x 0 (τ ) dτ + R2 ( t ) u 0 ( t )}dt + x T ( t1 ) P1 x 0 ( t1 ) = 0 .
t 0	t
	t1
	Учитывая, что x T ( t1 ) = ∫u T ( t ) B T ( t )ФT ( t1 , t )dt , получим оконча-
	t0

тельно условие экстремума, когда можно воспользоваться основ-ной леммой вариационного исчисления

t1	t1
∫ u T (t ){B T (t )∫ФT (τ, t ) R1 (τ )x 0 (τ ) dτ +				(7.2.5)
t 0	t
+R ( t )u 0	( t ) + ФT ( t , t ) P x 0		(t )}dt = 0.
2	1	1	1
Введем обозначение
t1
p ( t ) = ∫ФT (τ , t )R1 (τ ) x 0 (τ ) dτ + ФT (t1 ,t )P1 x 0 (t1 )				(7.2.6)

t

66

и	запишем	более		компактно	условие	(7.2.5):
t1
∫u T ( t )[ B T ( t ) p ( t ) + R2 ( t ) u 0 ( t )]dt .
t0
	После чего, опираясь на основную лемму вариационного исчис-
ления, получим B T (t ) p (t ) + R ( t )u 0 (t ) = 0
или			2
			(t ) B T (t ) p (t ) ,
		u 0 (t ) = −R −1				(7.2.7)
		2
где p(t ) – вспомогательный вектор, подлежащий поиску.
	Вектор p(t ) удовлетворяет дифференциальному уравнению, ко-
торое можно найти, вычислив				производную от выражения (7.2.6).
Действительно,		t1
		p ( t ) = ∫ [ −AT (t )ФT (τ , t ) R1 (τ )x 0 (τ ) dτ −
		t
		− AT (t )ФT (t , t ) Px 0 ( t ) − ФT (t , t ) R (t ) x 0 (t ).
		1	1	1	1

Первое слагаемое – результат дифференцирования под знаком интеграла, второе – результат дифференцирования второго слагае-мого выражения (7.2.6), третье слагаемое – результат дифференци-рования по нижнему пределу интеграла.

Учитывая свойство матрицы Коши Ф^T (t , t ) = E , получим

p(t ) = −AT (t )[			t1	ФT (τ , t )R (τ ) x 0		(τ ) dτ + ФT (t ,t )Px 0		(t )] − R (t )x 0
			∫							(t) ,
					1	1	1	1	1
или:			t
		p(t ) = − AT (t ) p (t ) − R (t )x 0 (t) .
										(7.2.8)
						1
Для	вектора				p(t ) можно получить		граничное условие
p(t ) = Px 0		(t ) , полагая t = t				в выражении (7.2.6).
1	1	1			1

Полученные результаты объединяются в систему дифференци-альных уравнений с помощью подстановки соотношения (7.2.7) в исходное уравнение движения

x⁰ (t ) = A(t )x ⁰ (t ) − B (t )R₂ (t )B ^T (t ) p (t), p (t ) = − A^T (t ) p (t ) − R₁ (t )x ⁰ (t).

67

x ⁰ (t )

Последняя система записывается в виде

p (t )

где

		A( t ); −B ( t ) R2−1		( t ) B T ( t )
A =		− R	( t ); −A T ( t )	.
		1

= A(t)

x ⁰ (t) , p (t)

(7.2.9)

Система (7.2.9) имеет порядок 2n и может быть решена с ис-пользованием начальных и граничных условий:

x0 (t	) = x , p (t ) = Px 0			(t ) .
0	0	1	1	t