2. Пояснения к получению принципа максимума

1. Изменение начальных условий.
δx = x	(τ ) − x (τ) = ε (	dxн	−	dx	)	при t =τ ,	x	н	– движение при
н		dt dt

u _н (t ) = u (t ) + δ(t) ,

δx = ε{ f [( x_н (τ ), u _н (τ )] − f [x (τ ), u(τ)]} ≈

• ε{ f [x (τ ), u_н (τ )] − f [x (τ ), u(τ)]}.

2. Линеаризация уравнений.

d [δx j ]			n
			= ∑δxi (t )		∂f j		(x0 , x1 ,..., xn ,u) .
dt
		i=0			∂xi

3. Сопряженные уравнения.

_dt^d < δx (t ), ψ(t ) >=< _dt^d δx , ψ(t ) >+ < δx (t ), _dt^d ψ(t) >= 0 .

С учетом линеаризации и смены порядка суммирования:

57

n

n

∂f j

dψ

∑ δxi (t )[∑ψj ( t )

+

i

] = 0 . Откуда

∂xi

dt

i = 0

j=0

dψ

n

∂f j

i

= −∑ψj (t )

,

i = 0,1,..., n . Это сопряженные уравнения.

dt

∂xi

j=0

4. Введение функции H.

H =< f (x , u ), ψ(t) >.

5. Получение принципа максимума.

δx (τ ) = ε[ f ( x , u н ) − f (x , u )], ε > 0, < δx (τ), ψ(τ) >= − δJ ≤ 0 .

По-

этому

<[ f ( x , u _н ) − f (x , u)], ψ(τ) > не положительно, что означает вы-

полнение неравенства: < f ( x , u _н ), ψ(τ) >≤< f (x , u), ψ(τ) > . Поскольку τ произвольно, то для выполнения условия опти-

мальности функция H =< f (x , u ), ψ(t) > должна достигать в любой момент времени наибольшего значения.