Глава 6. Принцип максимума

• ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

1. Постановка задачи поиска оптимального управления

Динамический объект описывается системой дифференциаль-

ных уравнений в форме Коши:
	dxi		= f	(x ,..., x ,u ),i =1,2,..., n .
	dt		i		1	n
Требуется перевести объект за время T							из одного состояния в дру-
гое так, чтобы функционал					J = T∫G ( x1 ,..., xn , u )dt принял наимень-
					0
шее (или наибольшее)			значение			при	соблюдении ограничений
| u ( t ) |≤ uM .

Порядок получения принципа максимума состоит из следующих этапов [14]:

• вводится для упрощения рассуждений дополнительная

переменная

x0 ( t )

такая,

что

dx0

= G (x

,..., x

,u ) = f

0

(x

,..., x

,u)

и

x (0) = 0, x

0

(T ) = J ;

dt

1

n

1

n

0

• определяется понятие игольчатой вариации δ(t ) как уз-

кого прямоугольного импульса (длительностью ε ) с ма-лой площадью, большей нуля;

• управляющему воздействию u (t ) в момент времени t = τ −ε дается приращение δ(t ) , изменяющее незначи-тельно начальные условия к моменту времени τ ;

• рассматривается приращение функционала δJ = δx₀ (T ) (выделяется линейная часть приращения), для чего про-изводится линеаризация дифференциальных уравнений;

• вводится вспомогательный числовой вектор ψ с коор-динатами ψ₀ = − 1, ψ₁ = ψ ₂ = ... = ψ_n = 0 , так что вариация δJ равна скалярному произведению < ψ, x (T ) > векто-ров ψ и x(T ) с составляющими x₀ , x₁ ,..., x_n ;

56

• предлагается рассмотреть вектор ψ( t ) такой, чтобы ска-лярное произведение < ψ(t ), x (t ) > было постоянным во времени на интервале [0;T ] и равно < ψ, x (T ) > , что приводит к появлению сопряженных дифференциальных уравнений для составляющих вектора ψ( t ) ;

• используется условие одинакового знака приращения функционала при достижении наименьшего (или наи-большего значения);

• в итоге получается главный вывод, который и называет-ся принципом максимума, заключающийся в том, что оптимальное управление для любого достигнутого со-стояния должно искаться из условия максимума по ар-гументу u функции H =< f ₀ , ψ(t ) > , где f₀ – вектор с составляющими f_i (x₁ ,..., x _n ,u ), i = 0,1, 2,..., n .