5.2. Скольжение граничных точек по заданным траекториям

Одним из простых примеров задачи со скольжением граничных точек является поиск минимального расстояния между двумя непе-ресекающимися окружностями. Из геометрических соображений

53

ясно, что задача корректна и имеет простое решение. Оптимальная траектория – это часть прямой линии, соединяющей центры двух окружностей. Рассмотрим другую простую задачу. Найти линию минимальной длины, соединяющую две вертикальные прямые, описываемые уравнениями: x = a и x =b , где a , b – константы.

Эта задача приведена в книге: Г.Е. Шилова «Математический ана-лиз (специальный курс)» (М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961). Длина линии, описываемой функцией y(x) , вычисляется согласно

выражению

x2
L = ∫	′	2	dx .
	1 + ( y )
x1

Прежде всего, следует воспользоваться тем, что оптимальная траектория является экстремалью и описывается уравнением y_e = kx + c , где k , c – константы. Условие экстремума функциона-ла получается путем приравнивания нулю выражения (4.4.1) и, по-скольку оптимальная траектория – экстремаль (последнее слагае-мое в нем равно нулю), записывается в более простом виде: учиты-вая аналитический вид функции F, получим два (в данном случае одинаковых) условия: F_{y ′} ( a ) = 0, F_{y ′} (b) = 0 . Поэтому оптимальные траектории описываются уравнениями x = c (их много в силу оди-наковости двух полученных условий экстремума).

Рассмотрим еще один пример поиска оптимальной траектории при наличии запретной области. Найти оптимальную траекторию, соединяющую две точки с координатами: x₁ = 0, y₁ = 0 и x₂ = 2, y₂ = 9 , причем траектория должна удовлетворять неравенст-

ву y ≥ f (x) , где f ( x ) = 9 − ( x −5)2 .
	x2
Функционал имеет вид L = ∫		′	2	dx , и экстремалями явля-
		1 + ( y )
ются прямые линии.	x1

З апишем все неизвестные в данной задаче: k ,b , x _p , y_p ( x_p , y_p – координаты точки входа экстремали y_e (x) в границу y = f (x) ).

Запишем необходимые уравнения для определения неизвест-ных:

54

y_e ( x₁ ) = y₁ , y_e ( x _p ) = y_p , f ( x _p ) = y_p ,

y_e′ ( x _p ) = f ′( x_p ).

Последнее уравнение и есть условие вхождения экстремали в границу.

Подставляя имеющиеся данные и учитывая, что k > 0 и

f ′ = −2( x −5) , получим c = 0, x _p = 4, k = 4, y_p = 8 .

Значение k = −4 понадобилось бы, если конечная точка искомой траектории имела бы координаты x₂ = 0, y₂ = 0 . В этом случае в силу симметрии задачи было бы две точки вхождения экстремали в границу и две части оптимальной траектории, являющихся экстре-малями.

Уместно заметить, что если бы в функционале была использо-вана любая функция F(x , y , y′) , зависящая только от аргумента y′ (например, характеризующая длину линии) – решение осталось бы прежним. Это связано с необходимостью использования при поис-ке решения уравнений экстремалей.

Контрольные вопросы

1. Какой смысл имеют условия трансверсальности?

2. Что такое экстремаль?

3. Каков порядок использования понятия экстремали в задачах с подвижными границами?

4. Используется ли равенство нулю вариации в задачах с под-вижными границами?

55