4.8. Неопределенные множители Лагранжа в вариационном исчислении

В вариационном исчислении решаются задачи на условный экс-тремум. Постановка задачи следующая. Имеется функционал вида

J = ^x_∫² F [ x , y₁ ( x ),..., y _n ( x ), y₁′ ( x ),..., y _n′( x )]dx . Каждая из функций про-

x1

ходит через заданные для нее две точки. На функции наложены ограничения:

Φ i ( y1 ,..., y n , y1′,..., y n′) = 0, i =1,2,..., k.

(4.8.1)

Требуется найти экстремум функционала.

Задача решается с помощью введения множителей Лагранжа λ₁ (x),..., λ_k (x) следующим способом:

• образуется новый функционал J * = x∫2	F *dx , где
x1

k

F ^* = F + ∑λ_i Φ_i ;

1. =1

• находится экстремум функционала J ^* ;

• опускаются из рассмотрения функции λ₁ (x),..., λ_k (x) и

выделяются только те функции y _j (x ), j =1,..., n , при ко-торых достигался экстремум функционала J ^* ;

51

• условный экстремум исходного функционала вычисля-

ется с использованием выделенных функций y _j (x ), j =1,..., n .

В теории управления ограничениями обычно являются диффе-ренциальные уравнения, описывающие динамический объект в форме Коши.

Пример 4.8.1. Пусть имеется динамический объект, который

описывается дифференциальным уравнением	dx	+ x = u(t) , где
	dt

u (t) – управляющее воздействие. Требуется перевести объект за время T из состояния x₁ в состояние x₂ так, чтобы функционал

J = ^T_∫ (x ² +u ² )dt имел минимальное значение.

0

Образуем новый функционал J ^* = ^T_∫ [(x ² + u ² ) + λ (x ′+ x −u )]dt .

0

Система уравнений Эйлера имеет вид x′+ x − u = 0,

2u + λ = 0,

2x − λ + λ ′ = 0.

Исключая λ(t), u(t) , получим дифференциальное уравнение для функции x(t) в виде x ′′− 2 x = 0 . После нахождения x(t) определя-

ем оптимальное управление с помощью уравнения, описывающего объект управления.

Контрольные вопросы

1. Как формулируется принцип суперпозиции?

2. Что такое вариация функционала?

3. Какими средствами задается требование оптимальности управления?

4. Для чего используются множители Лагранжа при поиске оптимальных управлений?

5. С какой целью рассматривается уравнение Эйлера-Пуассона?

52

Глава 5. Вариационные задачи с подвижными границами

5.1.Основные виды задач с подвижными границами

Наиболее простой постановкой вариационной задачи является случай, когда на концы траектории не накладываютсяx2 никакие ог-раничения и задан функционал вида J = ∫ F (x , y , y ′)dx . Если по-ставленная задача является корректной, тоx1 можно было бы пред-ложить следующий алгоритм ее решения: задать произвольные граничные точки траектории, т.е. определить значения x₁ , y₁ , x₂ , y₂ в качестве неизвестных параметров. Далее решить задачу Эйлера, получив зависимость оптимального значения функционала

J (x₁ , y₁ , x₂ , y₂ ) от параметров x₁ , y₁ , x₂ , y₂ и произвести оптимиза-цию полученной зависимости по значениям параметров, используя

равенство нулю соответствующих частных производных. Понятно, что этот путь является достаточно громоздким. Кроме того, вряд ли удается получить аналитическую зависимость оптимального зна-чения функционала от введенных параметров.

Однако чаще попадаются задачи с дополнительными ограниче-ниями. Обычно это следующие задачи: либо заданы уравнения тра-екторий y₁ =Φ₁ ( x₁ ) , y ₂ =Φ₂ (x₂ ) , по которым движутся граничные точки искомой функции, либо имеется запретная область, в кото-рую не может заходить оптимальная функция. Реальный путь ре-шения таких задач заключается в выделении главной линейной части приращения функционала, использования тезиса о том, что либо вся оптимальная траектория (функция), либо отдельные ее части являются экстремалями, имеются условия вхождения экс-тремали в границу (условия трансверсальности)[11]. Экстремаль – это функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению Эйлера.