4.5. Применение уравнения Эйлера для поиска оптимального закона управления

Пусть имеется динамический объект, который описывается дифференциальным уравнением

^dx_dt + x = u (t) ,

где u (t ) – управляющее воздействие.

Требуется перевести объект за время T из состояния x₁ в со-

стояние x₂ так, чтобы функционал J = ^T_∫ ( x ² +u ² )dt имел мини-

0

мальное значение.

48

Решение. С учетом вида дифференциального уравнения пред-

ставим функционал в виде J = ^T_∫ [ x ² + ( x ′+ x ) ² ]dt . Дифференциаль-

0

ное уравнение Эйлера для этого случая является линейным, имею-щим второй порядок x ′′− 2 x = 0 . Решая это уравнение и используя

граничные условия x(0) = x1 , x (T ) = x2 ,		получим	оптимальную
траекторию x 0 ( t)	движения. После этого оптимальное управление
u 0 ( t) может	быть найдено с	помощью	соотношения

u ₀ ( t ) = x ′₀ ( t ) + x₀ ( t) .

В данном примере удалось временно исключить из рассмотре-ния функцию u (t ) . В других случаях этого сделать не удается. По-

этому для поиска оптимального управления применяются более общие подходы.

4.6. Уравнение Эйлера – Пуассона и его применение

Это уравнение связано с функционалами, зависящими от стар-ших производных:

J = ^x_∫² F ( x , y , y ′,..., y ^{( n)} )dx .

x1

На функцию y( x) наложены граничные условия:

y (x₁ ) = y₁ , y ′( x₁ ) = y₁′ ,..., y ^{( n −1)} (x₁ ) = y₁^{( n−1)} ,

y (x₂ ) = y ₂ , y ′( x₂ ) = y₂′ ,..., y ^{( n −1)} (x₂ ) = y₂⁽ⁿ⁻¹⁾ .

Рассуждения, которые привели к уравнению Эйлера, когда по-нижался порядок производной вариации аргумента, подобным об-разом могут быть использованы и в данной задаче. Итогом оказы-вается уравнение Эйлера – Пуассона, которому должна удовлетво-рять оптимальная траектория. Уравнение имеет вид

F	−	d	F	+	d 2	F	+ ... + ( −1) n	d n	F	( n ) = 0 .
		dx			dx 2			dxn
y			y ′			y′′			y

49

Пример 4.6.1. Динамическая система описывается дифференци-

альным уравнением		d 2 x	= u (t ) . Требуется перевести систему за
		dt2
время T из одного состояния в другое так,					чтобы функционал
J = T∫[ x ′′(t )]2 dt принял минимальное значение.
0
Уравнение Эйлера – Пуассона имеет вид				d	4 x	= 0 , общее реше-
				dt4
ние которого является полиномом x(t ) = c + c t + c t 2							+ c t3 . Коэф-
фициенты c0 , c1 , c 2 , c3			0		1	2	3
	находятся с использованием заданных значе-

ний функции и ее производных при t = 0 и t =T . После этого с

помощью уравнения		d 2 x		= u (t ) находится оптимальное управле-
		dt	2
ние.
4.7. Функционалы, зависящие от векторного аргумента
Рассматриваются функционалы вида:
J = x∫2	F [ x , y1 ( x ),..., y n ( x ), y1′ ( x ),..., y n′( x )]dx .
x1

Каждая из функций проходит через заданные для нее две точки. Вариация функционала равна

x2	n	∂∂yF	n	∂∂yF′ η′i ( x )]dx .
δJ = ∫	[∑i=1		ηi ( x ) + ∑i−1
x1		i		i
Необходимое			условие	экстремума функционала имеет вид

δJ = 0 . Выберем вариацию аргумента такую, что η_i ( x) = 0 при i ≠1

и η1 ( x)		является произвольной. В этих условиях можно записать
x 2		∂F		∂F
δJ = x∫1	[	∂y1	η1 ( x ) +	∂y1′	η1′( x )]dx . Приравнивая нулю это выражение и

повторяя рассуждения, которые привели к уравнению Эйлера, по-

50

лучим, что необходимым условием для достижения экстремума требуется выполнение соотношения F_{y 1} − _dx^d F_y1′ = 0 .

Рассматривая подобным способом вариации аргумента специ-ального вида такие, что η_j ( x) = 0 при j ≠ i и η_i ( x) является произ-

вольной, получим необходимое условие экстремума функционала в виде системы уравнений Эйлера F_yi − _dx^d F_yii′ = 0,i =1,2,..., n .

Полученная система связывает все составляющие аргумента функционала, т.е. отдельные уравнения не являются автономными.