4.4. Задача Эйлера

Рассматривается функционал вида J = ^x_∫² F ( x , y , y ′)dx . Требуется

x1

провести через две заданные точки с координатами ( x₁ , y₁ ) и ( x₂ , y₂ ) такую кривую y( x) , которая доставила бы экстремум рас-сматриваемому функционалу.

46

Вычислим вариацию рассматриваемого функционала [10,11]

					x 2	∂F		η +	∂F ′
			δJ = ∫ [			∂y			∂y′	η ]dx ,
где η( x) –					x1
		вариация		аргумента,					удовлетворяющая условиям:
η(x ) = 0, η(x		) = 0 ;	F =	∂F	, F		=	∂F	– частные производные.
1	2		y	∂y	y′			∂y′

Вариацию преобразуем путем интегрирования по частям второ-го слагаемого к виду

δJ = η( x₂ ) F_{y ′} [ x₂ , y ( x₂ ), y ′( x₂ )] − ( x₁ ) F_{y ′}[ x₁ , y ( x₁ ), y ′( x₁ )] +

x 2	d	(4.4.1)
+ ∫ [ Fy −
		Fy ′ ]η( x ) dx.
	dx
x1

С учетом ограничений на вариацию аргумента получим условие экстремума

x∫2[ Fy −	d	Fy ′ ]η( x )dx = 0 .
	dx
x1

Основная лемма вариационного исчисления позволяет условие экстремума записать в виде дифференциального уравнения для ис-комой кривой:

F	−	d	F	= 0 .	(4.4.2)
		dx
y			y′

Уравнение (4.4.2) называется уравнением Эйлера.

Уравнение Эйлера может иметь упрощенный вид, если функция F (x , y , y′) не зависит от некоторых из аргументов x, y , y′. Напри-

мер, если отсутствует зависимость от x, y , то легко получить об-

щее решение уравнения Эйлера в виде совокупности всех линей-ных зависимостей y( x) .

Пример 4.4.1. Длина L кривой, проходящей через две точки,

x2
может быть вычислена по формуле L = ∫	′	2	dx .
	1 + ( y )
x1

47

Вид функции F ( x , y , y ′) = 1 + ( y′)² показывает, что имеется за-висимость только от одного аргумента. Поэтому уравнение Эйлера

получается простым

d

F 1 =

d

y′

= 0 .

dx

dx

′

y

1

2

+ ( y )

′

=

y′

′

′

2 зависит только от

y

,

Учитывая, что функция Φ ( y )

1 + ( y )

получим следующий

вид

уравнения

Эйлера

′

′′

= 0

,

где

ψ( y ) y

ψ ( y′) = _dy^d_′Φ( y′) . Поэтому уравнение Эйлера распадается на два

дифференциальных уравнения, и его общее решение представляет собой совокупность прямых линий. Функционал L достигает ми-нимального значения, если y( x ) = ax + b . Неизвестные коэффици-

енты a , b находятся из условий закрепления функции y( x) на кон-цах траектории.

Понятно, что если функция F ( x , y , y′) зависит только от y′ , то

общее решение Уравнения Эйлера всегда представляет собой сово-купность прямых линий.