- •Глава 1. Оптимизация статических объектов 6
- •Глава 2. Основы линейного программирования 22
- •Глава 3. Способы описания динамических систем 34
- •Глава 4. Применение вариационных методов для поиска
- •Глава 1. Оптимизация статических объектов
- •1.1. Понятие статических и динамических объектов
- •1.2. Задача нелинейного программирования
- •Задачи на условный экстремум, неопределенные множители Лагранжа
- •1.4. Пример применения метода неопределенных множителей Лагранжа для поиска наибольших значений функций
- •1.5. Общая постановка задачи линейного оценивания параметров
- •Глава 2. Основы линейного программирования
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Основные геометрические фигуры в линейном программировании
- •Экстремальные точки
- •2.4. Основные теоремы об экстремальных точках
- •2.5. Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •2.6. Учет ограничений типа неравенств
- •2.7. Поиск начальной экстремальной точки
- •Глава 3. Способы описания динамических систем
- •3.1. Передаточные функции
- •3.2. Описание в форме Коши
- •3.3. Управляемость, наблюдаемость, стабилизируемость, обнаруживаемость
- •3.4. Понятие фильтра и общая задача регулирования
- •Глава 4. Применение вариационных методов для поиска оптимальных управлений
- •4.1. Понятие линейного пространства
- •4.2. Функционал и его вариация
- •4.3. Вычисление вариации функционала
- •4.4. Задача Эйлера
- •4.5. Применение уравнения Эйлера для поиска оптимального закона управления
- •4.6. Уравнение Эйлера – Пуассона и его применение
- •4.8. Неопределенные множители Лагранжа в вариационном исчислении
- •Глава 5. Вариационные задачи с подвижными границами
- •5.1.Основные виды задач с подвижными границами
- •5.2. Скольжение граничных точек по заданным траекториям
- •Глава 6. Принцип максимума
- •Постановка задачи поиска оптимального управления
- •Пояснения к получению принципа максимума
- •6.3. Динамическое программирование
- •Примеры применения динамического программирования
- •Глава 7. Аналитическое конструирование регуляторов (акор)
- •7.1. Постановка задачи
- •7.2. Решение задачи акор
- •7.3. Уравнение Риккати
- •7.4. Общие свойства решения уравнения Риккати
- •7.5. Способы решения уравнения Риккати
- •7.7. Метод диагонализации
- •Глава 8. Случайные процессы в системах управления
- •8.1. Описание случайных процессов
- •8.2. Стохастические дифференциальные уравнения
- •8.3. Прогнозирование (оценивание) значений случайных величин с использованием закона распределения
- •8.4. Линейное оценивание значений случайных величин
- •Глава 9. Фильтр калмана
- •9.1. Постановка задачи
- •9.2. Основные принципы получения формул дискретного фильтра Калмана
- •9.3. Получение формул фильтра Калмана
4.2. Функционал и его вариация
Функционалом называют отображение, аргументом в котором является функция (может быть и векторная) вещественной пере-менной, причем каждой функции ставится в соответствие вещест-венное число. Функционал обозначим символом J[ f ( x)] .
В теории управления вещественной переменной обычно являет-ся время t . Задача оптимального управления заключается в выборе самого хорошего управляющего воздействия u (t ) . Качество управ-
ляющего воздействия характеризуется значением некоторого функционала, и ищут такое управляющее воздействие, при котором достигается экстремум функционала. Функционал определяется на выбранном линейном нормированном пространстве. Таким обра-зом, для поиска оптимального управления необходимо искать экс-тремумы функционалов.
Необходимое условие экстремума функционала получают с по-мощью выделения главной линейной части приращения функцио-нала (называемой вариацией функционала и обозначаемой как δJ ) в выбранной «точке» f ( x) , когда аргумент f ( x) получает прира-
щение η( x) . Приращение также η( x) принадлежит выбранному
линейному нормированному пространству, и его называют вариа-цией аргумента. Необходимое условие экстремума заключается в неизменности знака приращения функционала при произвольной, но достаточно малой вариации аргумента. Поскольку знак прира-щения функционала в этих условиях определяется знаком его ва-риации, то необходимым условием экстремума функционала явля-ется равенство нулю вариации функционала.
Введем понятие линейного функционала. Функционал L[ f (x)]
называется линейным, если он удовлетворяет принципу суперпо-зиции:
-
L[λ1 f1 ( x ) + λ 2 f 2 ( x )] = λ 1 L[ f1 ( x )] + λ2 L[ f 2 ( x)] .
(4.2.1)
45
Определения (4.2.1) достаточно, чтобы найти правило вычисле-ния вариации функционала.
При поиске экстремумов функционалов дополнительно исполь-зуется основная лемма вариационного исчисления:
если интеграл |
x∫2 |
f ( x ) g ( x )dx равен нулю при любой g( x) , то |
|
x1 |
|
f ( x) тождественно равна нулю (рассматриваются непрерывные функции).
4.3. Вычисление вариации функционала
Согласно свойству линейности вариации запишем соотношение
J[ f ( x )) + λη( x )] − J [ f ( x )] = L[ f ( x ), λη( x )] + 0[λη( x)] ,
где L[ f ( x ), λη( x)] – линейный функционал относительно второго аргумента, 0[λη( x)] – бесконечно малая величина достаточно вы-
сокого порядка. Учитывая свойство линейности функционала L[ f ( x ), λη( x)] , можно записать:
J [ f (x )) + λη(x )] − J [ f (x )] |
1 |
= L[ f (x ), η(x)] + |
0[| λη(x) |] |
. |
(4.3.2) |
|
λ |
|
|
||||
|
|
λ |
|
|
||
Переход к пределу в последнем равенстве при λ →0 приводит к результату δ J = ∂∂λ J [ f (x ) + λη(x)] при λ = 0 .
Следует заметить, что равенство нулю предела второго слагае-мого в правой части равенства (4.3.2) определяет существование вариации функционала (функционал в этом случае называется дифференцируемым).