Глава 4. Применение вариационных методов для поиска оптимальных управлений
4.1. Понятие линейного пространства
Множество M элементов m называется линейным пространст-вом [10], если:
• для любых двух элементов m1 , m2 определена сумма m1 + m2 , принадлежащая M.
для любого элемента m определена операция умноже-ния на вещественное число λ (результат умножения
принадлежит M).
Причем выполняются следующие условия: для любых двух эле-ментов m1 , m2 справедливо соотношение m1 + m 2 = m2 + m1 ;
для любых трех элементов m1 , m2 , m3 справедливо равен-
ство ( m1 + m2 ) + m3 = m1 + ( m 2 + m3 ) ;
существует нулевой элемент 0, обладающий свойством m + 0 = m для любого m ;
для любых двух элементов m1 , m2 уравнение m1 + m2 = 0 разрешимо относительно m1 и элемент m2 называется противоположным элементу m1 ;
существует единичный элемент 1, обладающий свойст-вом 1•m = m для любого m ;
для любых двух λ,μ чисел и любого m выполняется со-отношение λ(μm )=(λμ)m ;
-
•
для
любых
λ, m1 , m2
справедливо
равенство
λ( m1 + m2 ) = λ m1 + λm2 ;
•
для
любых
λ,μ, m2
справедливо
равенство
(λ + μ )m = λm + μm .
Примерами линейных пространств могут служить:
множество всех вещественных чисел;
множество всех векторов определенной размерности;
43
множество всех квадратных матриц определенной раз-мерности.
Введем понятие расстояния ρ( m1 , m2 ) между элементами m1 , m2 множества M – это функция двух аргументов m1 , m2 , удовлетво-ряющая условиям:
для любых двух элементов m1 , m2 справедливо равенство
ρ( m1 , m2 ) = ρ( m 2 , m1 ) ;
для любых его двух различных элементов m1 , m2 имеет место неравенство ρ( m1 , m2 ) > 0 ;
• если m1 = m2 , то ρ( m1 , m2 ) = 0 , и обратно – при ρ( m1 , m2 ) = 0 обязательно m1 = m2 ;
для любых трех элементов m1 , m2 , m3 выполняется нера-
венство треугольника ρ( m1 , m 2 ) ≤ ρ ( m1 , m3 ) + ρ( m 2 , m3 ) . Если удается ввести понятие расстояния, то множество M на-
зывают метрическим пространством.
Линейное пространство называется нормированным, если для его любых двух элементов m1 , m2 существует расстояние
ρ( m1 , m2 ) , удовлетворяющее дополнительным условиям:
для любых трех элементов m1 , m2 , m3 справедливо равен-
ство ρ( m1 + m3 , m 2 + m3 ) = ρ( m1 , m2 ) ;
• для любых λ,m выполняется равенство
ρ(λm,0) =| λ| ρ(m,0) .
Величина
ρ(m,0)
называется нормой элемента m
и обозначает-ся
символом
m
.
Примером линейного нормированного пространства может служить множество функций y = f (x) вещественного аргумента,
определенных на отрезке [a , b] , которые имеют производные по-рядка k. Расстояние можно, например, ввести согласно формуле [6]:
ρ{ f1 ( x ), f 2 ( x )} = max{| f1 ( x ) − f 2 ( x ) |,| f1′( x ) | − f 2′( x) |,...
...,| f 1( k ) ( x ) − f 2( k ) ( x ) |}, x ∈[ a , b].
44
Следует заметить, расстояние может быть определено не един-ственным способом, поскольку требуется лишь определить функ-цию от элементов, обладающую перечисленными выше способами.