3.2. Описание в форме Коши

Описание системы в форме Коши учитывает полную структуру динамической системы, позволяет вести анализ всех меняющихся в ней сигналов и имеет вид

^dx_dt¹ = f₁ ( x₁ , x₂ ,..., x_n , u),

.......................................,

.......................................,

^dx_dtⁿ = f_n ( x₁ , x₂ ,..., x_n , u).

Величины x₁ , x ₂ ,..., x_n называются переменными состояния.

Для линейных систем форма Коши задается с помощью матриц

A(t ), B (t) :

x = A(t )x + B (t )u ,

где x – вектор с составляющими x₁ , x ₂ ,..., x_n ; x – символ производ-

ной.

Если система является стационарной, то матрицы A(t ), B (t) яв-ляются постоянными (не зависят от времени).

37

Поскольку с помощью передаточной функции могут быть най-дены частотные и переходные характеристики, то последние спо-собы описания также являются неполными.

3.3. Управляемость, наблюдаемость, стабилизируемость, обнаруживаемость

Рассмотренные ранее примеры заставляют искать особенности движения систем даже при полном их описании [6,7,8,9]. Рассмот-рим линейную динамическую систему второго порядка, которой соответствуют уравнения

^dx_dt¹ = x₁ + x₂ +u, ^dx_dt² + x₂ = 0.

Ясно, что переменная x₂ движется независимо от управляющего

воздействия u . Это пример неуправляемой системы, в которой не удается с помощью управляющего воздействия заставить систему перейти в наперед заданное состояние.

Изучим общий характер движения неуправляемых систем. Для этого используем теорему Гамильтона – Кели: «Всякая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению».

Поясним теорему на примере. Пусть имеется матрица	A =	1;2
			.
		3;4
Найдем ее характеристическое уравнение | A − λE |= 0	(где	E	–

единичная матрица), которое в данном примере является квадрат-

ным: λ² − 5 λ − 2 = 0 . Матричное выражение A ² − 5 A − 2E можно представлять как матрицу, состоящую из нулевых элементов. Дей-

ствительно,	7;10		, поэтому	A 2 − 5 A − 2 E = 0M , где 0M –
	A2 =
	15;22

матричный нуль.

38

Пусть стационарная динамическая система находится в состоя-

нии покоя, т.е. x = 0 . Тогда x(t ) = ∫t

e A ( t −τ ) Bu (τ)dτ .

0

Раскладывая

в

ряд

экспоненту,

получим

x(t ) = Bα

0

+ ABα

+ A2Bα

2

+ ... + AnBα

n

+ R , где

R –

остаток, за-

1

висящий от старших степеней матрицы A , αk = ∫t

(t −τ)k

u (τ)dτ .

0

k!

Согласно теореме Гамильтона – Кели степень

An

является ли-

нейной комбинацией степеней Ai ,

где i ≤ n −1 .

Поэтому степени

Aj , где j

больше n , также являются линейными комбинациями

n−1

степеней

Ai . В итоге справедливо равенство x(t ) = ∑ci (t )BAi для

i=0

любого момента времени t . Таким образом, в любой момент вре-мени вектор x(t) является линейной комбинацией столбцов матри-

цы Y = (B ; BA; ...; BAⁿ⁻¹ ). Размерность пространства, в котором на-

ходится вектор x , совпадает с числом линейно независимых столбцов матрицы Y (ее называют матрицей управляемости), т.е. с ее рангом. Если матрица Y является вырожденной, то размерность рассматриваемого пространства меньше – n и вектор состояния не может находиться в любой наперед заданной точке n – мерного пространства. Если неуправляемая часть движения (оно является свободным, связанным с начальными условиями) стремится к ну-лю, то система называется стабилизируемой.

Аналогичные представления рассматриваются и при наблюде-нии за переменными состояния. В приведенном примере с электри-ческой печкой не наблюдалась переменная состояния на выходе корректирующего звена. Система называется наблюдаемой, если при наблюдаемых (измеряемых) сигналах и известном управляю-щем воздействии можно, не решая дифференциальных уравнений, восстановить в каждый момент времени значения всех переменных состояния.

39

Рассмотрим пример. Пусть система описывается дифференци-альными уравнениями:

x₁ = a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +b₁u, x₂ = a ₂₁ x₁ + a ₂₂ x₂ +b₂ u,

и измеряется величина y = c₁ x₁ + c₂ x₂ . Попробуем, не решая диффе-

ренциальных уравнений, восстановить значения переменных со-стояния. Для этого продифференцируем наблюдаемый сигнал и получим систему

y = c₁ x₁ + c₂ x₂ , y = c₁ x₁ + c₂ x₂ ,

которую с учетом дифференциальных уравнений можно записать в виде

c₁ x₁ + c₂ x₂ = y,

( c₁ a₁₁ + c₂ a₂₁ ) x₁ + ( c₁ a₁₂ + c₂ a₂₂ ) = y − ( c₁b₁ + c₂ b₂ ) u.

Решить последнюю систему относительно x1				и x2	можно, если
ее определитель отличен от нуля. Матрица N этой системы может
быть записана следующим образом:		T		, где	cT – строка
	N = c	T
	c		A

( c₁ , c₂ ) . Поэтому, если матрица N вырождена, то восстановить x₁

• x₂ невозможно.

• общем случае, когда линейная динамическая система имеет порядок n , восстановление всех переменных состояния возможно,

			T
	c
если матрица	c T A					является невырожденной. Матрицу	N
	N =	...
			T	A	n−1
	c

называют матрицей наблюдаемости, которая используется при из-мерении одного сигнала y . Сигнал y вовсе не обязательно совпа-

дает с регулируемым выходным сигналом. Для обеспечения на-блюдаемости системы следует правильно выбирать измеряемые

40

величины. Если ненаблюдаемая часть движения системы стремится к нулю, то систему называют обнаруживаемой.

Упражнение. Показать, что две различные системы, описывае-

мые уравнениями x =

A1 x + B1u и

x = A2 x + B2 u , где

A1

0;1

,

=

−1;

−2

B1

0

,

A2

−2;1

и

B2

1

,

в первой системе наблюдаемый

=

=

=

1

−1;0

1

выходной сигнал y₁ = x₁ + x₂ , а во второй – y ₂ = x₁ , имеют одинако-

вые передаточные функции, но одна из них неуправляемая, другая – ненаблюдаемая.

Построить структурные схемы систем и убедиться в их разли-чии.