Глава 3. Способы описания динамических систем

3.1. Передаточные функции

Динамические системы – это такие системы, в которых имеется запаздывание передачи информации. Они обычно описываются с применением аппарата дифференциальных уравнений. Однако практика проектирования систем управления (например, выбор корректирующих устройств) показала эффективность применения других способов описания. Наиболее распространенными способа-ми описания динамических систем являются:

• дифференциальные уравнения высоких порядков; частотные характеристики (амплитудные, фазовые, амплитудно-фазовые);

• переходные характеристики (реакция на ступенчатое воз-действие);

• импульсные переходные характеристики (реакция системы на δ – функцию);

• передаточные функции;

• структурные схемы линейных систем, включающие интег-рирующие, суммирующие, усилительные звенья;

• описание систем в форме Коши.

34

Наиболее полными являются два последних способа описания. Поясним это на примере недостатков передаточной функции ли-нейной системы, когда появляется возможность сокращения оди-наковых множителей числителя и знаменателя.

При появлении в передаточной функции динамической системы одинаковых полиномов в числителе и знаменателе возникает во-прос о возможности сокращения таких полиномов. Простейшие примеры показывают, что при необоснованном сокращении поли-номов могут быть потеряны важные свойства рассматриваемой ди-намической системы. Пусть передаточная функция имеет вид

w( s) = _u^{x (}₍^s_s ⁾₎ = ^Ts_Ts ⁻₋¹₁ , где s – аргумент передаточной функции, x –

выходная величина, u – управляющее воздействие, T – постоян-ная, характеризующая динамические свойства объекта. Сокраще-ние числителя и знаменателя приведет к результату x( s ) = y ( s) , и,

казалось бы, можно сделать вывод, что выходной сигнал совпадает с управляющим воздействием. Однако, потеряно главное свойство, заключающееся в том, что объект является динамическим. В дан-ном примере, кроме того, объект является неустойчивым.

Известно, что передаточная функция wЗ ( s)							замкнутой системы
находится согласно правилу	w	(s) =			w( s)	,	где w( s) – переда-
	З		1		+ w( s)

точная функция разомкнутой системы. Если w( s) является отноше-

нием двух полиномов w( s) =	P(s)	, то	w (s) =		P(s ) / Q (s)	и воз-
	Q (s)		З	1+ P(s ) / Q (s)

никает вопрос о возможности сокращения числителя и знаменателя на Q ( s) .

Пусть объект описывается дифференциальным уравнением

a		d n x	+	... + a	dx	+ a x = b		d mu		+ ... + b u
	n dt n							dtm
				1 dt		0	m			0
функция имеет вид							w( s) =		a s n + ... + a
									n	0
									b s m + ... +b
									m	0

, и его передаточная

= _Q^P(₍ ^s_s⁾₎ . Введение единич-

ной обратной связи (замыкание объекта) означает, что справедливы

35

соотношения	x( t ) = a	d n x	+ ... + a	dx	+ a x = b		d mε	+ ... + b ε,
	n dt n		1 dt		0	m dtm		0

ε(t ) = u ( t ) − x (t ) . Исключая ε(t ) из последних соотношений, полу-

чим дифференциальное уравнение, описывающее замкнутый объ-ект:

a

d n x

+ ... + a

d m +1 x

+ ( a

+ b )

d m x

+ ... + ( a

+ b )x =

n dtn

dtm +1

dtm

m +1

m

m

0

0

= b

d mu

+ ... + b u,

m dtm

0

которому

соответствует

передаточная

функция

b s m

+ ... + b

.

Эта

передаточная

m

0

a s n

+ ...a

m +1

s m +1 + ( a

m

+ b ) s m + ... + ( a

+b

n

m

0

0)

функция также получается по формуле

w (s) =

P(s ) / Q (s)

, где

З

1+ P(s ) / Q (s)

необходимо произвести сокращение числителя и знаменателя на

Q ( s) .

В

частности,

если

w( s) =

K

,

то

Ts −1

K / (Ts −1)

K

w( s) =

=

;

произведено сокращение

на

1

Ts + K −1

+ K / (Ts − 1)

(Ts −1) .

Все вопросы, связанные с возможностью сокращения нулей и полюсов в передаточных функциях следует решать с помощью анализа дифференциальных уравнений.

Другой пример. Пусть имеется инерционный объект, который описывается передаточной функцией w( s) = _{T0 s}^K₊₁ , где T₀ –

большая постоянная времени (например, характеризует инерцион-ность электрической печи). Чтобы ускорить процесс разогрева, применим последовательное корректирующее звено с целью до-биться новой передаточной функции объекта передаточной функ-

цией w( s) = _{Tk s}^K₊₁ , где T_k значительно меньше T₀ . Такое корректи-

36

рующее звено с передаточной функцией w( s) = ^{(T0 s +1)} можно реа-

T_k s +1

лизовать с помощью усилителя с большим коэффициентом усиле-ния, охваченного единичной отрицательной обратной связью с пе-

редаточной функцией w	( s) =	K y		. После сокращения одинако-
y		T0 s +1

вых множителей получим передаточную функцию системы в виде

w (s) =	K		, где T =	T0			. Однако такая коррекция опасна,
c	Tk s +1		k	K y +1

поскольку теперь система имеет второй порядок, и на выходе кор-ректирующего устройства будет наблюдаться большой выброс, что останется незаметным при сокращении одинаковых множителей.