МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

В.А. Власов, А.О. Толоконский

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Рекомендовано УМО “Ядерные физика и технологии” в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений

Москва 2013

УДК 681.51(075.8) ББК 32.965я7 В58

Власов В.А., Толоконский А. О. Методы оптимизации и оптимального управления. Учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2013. – 88 с.

Предназначено для студентов групп А7-01-02-03 и студентов Эконо-мико-аналитического института НИЯУ МИФИ.

Содержит следующие основные разделы:

• методы оптимизации функций многих переменных при наличии ограничений;

• применение вариационных методов для поиска оптимальных управлений динамическими объектами;

• применение принципа максимума Понтрягина для определения оп-тимального управления;

• дискретная и непрерывная формы метода динамического програм-мирования;

• методы линейного программирования.

• настоящее время практически отсутствуют литературные источни-ки, которые были бы изданы в последние годы и в которых достаточно просто излагались бы комплексно перечисленные вопросы.

Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.

Рецензент проф. каф. «Информационные системы», д-р техн. наук Сальников Н.Л.

ISBN 978-5-7262-1806-9	©	Национальный исследовательский
	ядерный университет «МИФИ», 2013
Редактор Е.К. Коцарева
Подписано в печать 15.11.2012.			Формат 60x84 1/16
Печ. л. 5,5.	Уч.-изд. л. 5,75.		Тираж 120 экз.
Изд. № 57/1		Заказ № 11.

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». Типография НИЯУ МИФИ,

ООО «Полиграфический комплекс «Курчатовский». 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42.

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 6

Глава 1. Оптимизация статических объектов 6

1.1. Понятие статических и динамических объектов 6

1.2. Задача нелинейного программирования 7

1.3. Задачи на условный экстремум, неопределенные множители Лагранжа 9

1.4. Пример применения метода неопределенных множителей Лагранжа для

поиска наибольших значений функций 14

1.5. Общая постановка задачи линейного оценивания параметров 16

Контрольные вопросы. 22

Глава 2. Основы линейного программирования 22

2.1. Постановка задачи 22

2.2. Основные геометрические фигуры в линейном программировании 23

2.3. Экстремальные точки 24

2.4. Основные теоремы об экстремальных точках 27

2.5. Симплексный метод решения задач линейного программирования 27

2.6. Учет ограничений типа неравенств 32

2.7. Поиск начальной экстремальной точки 33

Контрольные вопросы 34

Глава 3. Способы описания динамических систем 34

3.1. Передаточные функции 34

3.2. Описание в форме Коши 37

3.3. Управляемость, наблюдаемость, стабилизируемость, обнаруживаемось 38

3.4. Понятие фильтра и общая задача регулирования 41

Контрольные вопросы 42

Глава 4. Применение вариационных методов для поиска

ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ 43

4.1. Понятие линейного пространства 43

4.2. Функционал и его вариация 45

3

4.3. Вычисление вариации функционала 46

4.4. Задача Эйлера 46

4.5. Применение уравнения Эйлера для поиска оптимального закона

управления 48

4.6. Уравнение Эйлера – Пуассона и его применение 49

4.7. Функционалы, зависящие от векторного аргумента 50

4.8. Неопределенные множители Лагранжа в вариационном исчислении 51

Контрольные вопросы 52

ГЛАВА 5. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ 53

5.1.Основные виды задач с подвижными границами 53

5.2. Скольжение граничных точек по заданным траекториям 53

Контрольные вопросы 55

ГЛАВА 6. ПРИНЦИП МАКСИМУМА И ДИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ 56

6.1. Постановка задачи поиска оптимального управления 56

6.2. Пояснения к получению принципа максимума 57

6.3. Динамическое программирование 58

6.4. Примеры применения динамического программирования 59

Контрольные вопросы 63

ГЛАВА 7. АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕГУЛЯТОРОВ (АКОР) ..63

7.1. Постановка задачи 63

7.2. Решение задачи АКОР 64

7.3. Уравнение Риккати 68

7.4. Общие свойства решения уравнения Риккати 70

7.5. Способы решения уравнения Риккати 71

7.6. Пример решения задачи АКОР 72

7.7. Метод диагонализации 75

Контрольные вопросы 77

ГЛАВА 8. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ 77

8.1. Описание случайных процессов 77

4

8.2. Стохастические дифференциальные уравнения 80

8.3. Прогнозирование (оценивание) значений случайных величин с

использованием закона распределения 81

8.4. Линейное оценивание значений случайных величин 82

Контрольные вопросы 83

ГЛАВА 9. ФИЛЬТР КАЛМАНА 84

9.1. Постановка задачи 84

9.2. Основные принципы получения формул дискретного фильтра Калмана 84

9.3. Получение формул фильтра Калмана 85

Контрольные вопросы 87

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 88

5

ВВЕДЕНИЕ

Методы оптимизации широко используются в различных при-кладных разделах теории управления. Это и выбор оптимальных управляющих воздействий, и построение разнообразных фильтров, и учет случайных возмущений на системы и т.д.

Однако, не смотря на многочисленные опубликованные моно-графии, в которых подробно рассматриваются определенные раз-делы теории управления, отсутствуют литературные источники, в которых были бы компактно собраны основные теоретические ме-тоды, применяемые для решения такого широкого круга вопросов. Кроме того, многие монографии изданы достаточно давно и либо отсутствуют, либо имеются в незначительных количествах в биб-лиотечных фондах. Данное учебное пособие направлено на устра-нение этих недостатков.