Zadacha

Задача

Составить модель оптимального выпуска продукции для цеха пищевого предприятия. Виды выпускной продукции М, виды основного сырья П, его запасы, нормы расхода сырья на единицу, уровни прибыли приведены в таблице. Рассчитать план и провести его анализ.

Виды сырья	Расход сырья на единицу продукции	Общий запас сырья, ед.
	М1	М2	Мз
П1	2	4	3	266
П2	1	3	4	200
П3	3	2	1	303
Уровень прибыли на единицу продукции	20	24	28

Содержаниезадачи

Цех на пищевомпредприятиивырабатывает три ассортиментапродукции, условнообозначенныеМ1, М2, Мз (в ед.)

Для ихпроизводстваиспользуется основныевидысырья(ресурсы), условноназванныеШ, Иг,Пз(в ед.). Расходкаждогоресурса на производствоединицыпродукцииявляетсязаданнойвеличиной, определяется по рецептуре и обозначается символами ап,а!2,а...,азз, гдеа-норма расхода, перваяподстрочная, 1- номер ресурса; Втораяподстрочная - 1,2,3- помер ассортиментнойгруппы.

Наличиекаждогоресурса для производствавсехвидовпродукциипринимаютсякакизвестная величина и обозначается символами в1,в2,вз.

Прибыль на продукциютакжепринимаетсякакизвестная величина и обозначается символами сг, сг, ез.

Перечисленные параметра являются величинами известными и выражаются в единыхединицахизмерения, кромеприбыли. Прибыльилидругойпоказатель, являющийсякритериемоптимальности, выражается в единицахизмерениядохода (прибыли), получаемого от производстваединицыпродукции в денежномили другом выражении. Решениезадачизаключается в поиске такого планапроизводства, котороеобеспечилбы в принятыхусловияхнаибольший доход. Принимаются те величины, которыеявляютсянеизвестными и обозначающимикачествокаждойгруппыпродукции, включаемой в план производства: XI для М1, Хг для М2, Хз для Мз.

Математическаямодель в символическом виде Система ограниченийЦелеваяфункция (суммарный доход):

Г ' С5+ XI + С2 ' Х2 + сз • хз^г шах

Условия не отрицательностинеизвестных:

Х1?), Х2?0, Хз?0;

Символическая модель, наполненная численной информацией, будет иметь вид:

2*х1+4*х2+3*х3?266

1*х1+3*х2+4*х3?200

3*х1+2*х2+1*х3?300

Прибыль от реализации выпускаемой продукции должна быть максимальное то есть:

F=20*х1+24*х2+28*х3=max

Решение задачи

Всегда для решения задачи симплексным методом неравенство преобразует эквивалентные равенства путём добавления в каждое неравенство по одному дополнительному неизвестному с коэффициентом +1 и нулевым уравнением прибыли. Для удобства расчёта левые и правые части уравнения меняются местами. В этом случае исходные неравенства примут вид симплексных уравнений:

266=2*х1+4*х2+3*х3+1*х4

200=1*х1+3*х2+4*х3+1*х5

300=3*х1+2*х2+1*х3+1*х6

F=20*х1+24*х2+28*х3+0*х4+0*х5+0*х6

Коэффициенты при неизвестных записываются в симплексной таблице, в которой выполняются расчёты и отражаются полученные результаты.

Исходная таблица

Cj	Po	Xo	20	24	28	0	0	0
			X1	X2	X3	X4	X5	X6
0	X4	266	2	4	3	1	0	0
0	X5	200	1	3	4	0	1	0
0	X6	303	3	2	1	0	0	1
Zj-Cj	0	-20	-24	-28	0	0	0

В столбцах таблицы записывают: в первом Cj – прибыль единицы продукции, которая вводится в план выпуска, во втором Ро – неизвестные включаемые в план, в третьем – Х0 – свободные величины, в остальных – коэффициенты при неизвестных в уравнениях. В верхней части этих столбцов отражаются коэффициенты при неизвестных целевой функции. В нижней строке (целевой) записываются получаемые расчётным путём показатели: в столбце Хо – суммарная прибыль планового выпуска, в остальных столбцах – прибыль единицы продукции с отрицательным знаком.

В последних трёх столбцах коэффициенты при дополнительных неизвестных, равные единицы, расположены по диагонали. Эта часть таблицы, называемая единичной матрицей, необходима для вычислительных и аналитических целей.

При решении задачи на максимум целевой функции наличие в целевой строке отрицательных чисел указывает на возможность начала или продолжения решения задачи. Порядок решения таков: из отрицательных чисел целевой строки выбирается наибольшая по модулю. Столбец, в котором оно находиться, принимается за ключевой (или разрешающий) и для удобства расчетов выделяется. В нашей задаче таким столбцом будет Х3, имеющий в целевой строке наибольшую по модулю величину 28.

Первая интерация

Cj	P1	Xo	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
0	X4	116	1,3	1,75	0	1	-1	0
28	X3	50	0,3	0,75	1	0	0,3	0
0	X5	253	2,8	1,25	0	0	0	1
Zj-Cj	1400	-13	-3	0	0	7	0

Затем элементы столбца Хо (свободные величины) делят на соответствующие коэффициенты ключевого столбца и полученные результаты сопоставляют между собой. Строка с наименьшим отношением принимается за ключевую и так же для удобства выделяется. В нашем случае 266/3 - 88,7: 200/4 - 50; 303/1 – 303 .

Наименьшее соотношение 50 имеет строка X₅ ,она и будет ключевой.

Ключевой момент 4. Далее элементы таблицы преобразуются и записываются в новую таблицу. Первоначально преобразуют элементы ключевой строки путем деления на ключевой момент. Преобразованные элементы записывают в том же самом мете.

В столбцах Ро и Cj занимают место вводимая в план неизвестная Хз с прибылью 28 ( итерация 1). Остальные элементы преобразуются по следующему правилу:

• для преобразуемого элемента в его столбце находят элемент ключевой строки, а в его строке элемент ключевого столбца.

• соответствующие элементы ключевой строки и ключевого столбца перемножается, и полученые производные делят на ключевой момент.

• частное отделение вычитают из значения элемента, которое он имел до преобразования , и полученый результат будет преобразованным элементом ,который записывается в новую таблицу в том же самом месте. Следуя этому правилу ,преобразоване элементов столбца Хо будет:

Включение на 1 интерации в план неизвестной Х3 обеспечит сумму 1400 гривен. Решение задачи продолжается ,так как в целевой строке два отрицательных элемента. Наибрльший по модулю элемент 13,он находится в столбце Х1 ,который принимается за ключевой. А ключевой строкой будет Х6 (11661,3=92,8 ;50:0,3=200 ;25362,8=92),ключевым элементом 2,8.

Элементы таблицы преобразуются в том же порядке по изложенному правилу и записываются в новую таблицу.

Вторая интерация

Cj	P2	Xo	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
0	X4	1	0	1,18	0	1	-1	-0,5
28 13	X3 X1	27 92	0 1	0,64 0	1 0	0 0	0,3 0	-0,1 0
Zj-Cj	2596	0	-3	2,91	0	5,8	4,7

В последней таблице целевая строка имеет только положительные элементы. Это значит, что составленный план оптимален и дальнейшее

Улучшение его невозможно. Как видно из таблицы оптимальный план выпускает выпуск продукции:

П127 ел. (X1 - 27)

Пз-92 ел (Хз = 92),

Дополнительно неизвестного П4-1 ед.(Х4 — 1). П 2 и дополнительные неизвестные в план по вошли , следовательно:

Х2=0,Х5=0,Х6=0;

Подставив значение неизвестных, в уравнение, получим

2*92+4*0+3*27+1=266

1*92+3*0+4*27+0=303

F=20*20*92+24*0+27*28=2596.

Анализ оптимально плана

1.Запасы сырья 3-х видов используются не полностью, так как Х4 = 1, а Х5 = Х6 = о:

2.Рассмотрим элементы матрицы. От выпуска продукции 2 следует отказаться . Элементы столбца Х5 показывают, что увеличение запасов

вспомогательных материалов - 1 на 1 ед. 1(Х5=1) позволит увеличить выпуск продукции 3-его вида на 0,3 ед. Сумма прибыли увеличится на 5,8 гривны.

Элементы столбца Х6 показывают ,что увеличение вспомогательных материалов-2 на ед. (х6=1) позволит уменьшить выпуск только продукции третьего вида на 0,1 ед.(27-0,1).Сумма прибыли увеличится на 4,7 гривны. Снижение запасов сырья приводит к изменениям выпуска продукции и сумме прибыли в обратном порядке. Элементы целевой строки оптимального плана называются двойственными оценками ,которые определяют велечину изменения прибыли при изменении запасов сырья на 1 ед.