1.16. Виды распределения случайных погрешностей.

1.16.1 Наиболее часто применяемые законы распределения случайных погрешностей: нормальный (гауссов) при числе измерений n ≥ 30, Стьюдента при нормальном распределения погрешностей и числе измерений n < 30, равномерный закон и треугольный закон (закон Симпсона ).

1.16.2 Нормальный закон (закон Гаусса). Плотность распределения случайной погрешности р(Δ).

Интеграл вероятностей случайной погрешности (функция Лапласа)

где z = Δ_г/σ

Функция Ф(z), называемая функцией Лапласа, выражает вероят­ность попадания случайной величины t в интервал (0, z). Значения функции Ф(z) приведены в таблицах интеграла вероятностей.

Задаваясь границей Δ_г в долях σ, находят, а затем иско­мую вероятность 2Ф(z) по таблицам функции Ф(z). При необходимости можно выполнить обратный поиск, т. е. по заданной вероятности 2Ф(z) найти z, далее Δ_г = z∙σ и интервал (- Δ_г, Δ_г). Функция Ф(z) – нечетная функция: Ф(-z) = - Ф(z).

Практическое значение интервалов погреш­ностей (-Δ_г, Δ_г), представленных в долях СКО σ. В частности:

- Р(-2σ/3 < Δ < 2σ/3) = 0,5;

- P(- σ < Δ < σ) = 0,683;

- Р(- σ < 2Δ < σ) = 0,95;

- Р(-3σ < Δ < Зσ) = 0,997;

- Р(- ∞ < Δ < +∞) = 1.

48

Если распределение вероятности случайной погрешности подчи­няется нормальному закону (а это довольно часто встречается на практике), то вместо значения Δ указывается σ. В соответствии со значениями этих вероятностей погрешность результатов измерений, равная (2/3)σ, названа равновероятной (поскольку Р = 0,5). Погреш­ность, равная Зσ, принята за максимальную. При вероятности Р = 0,997 из тысячи выпол­ненных измерений только три их погрешности Δ выходят за пределы интервала (-Зσ, Зσ).

Значения интеграла вероятностей представлены таблицей 6.

1.16.3 Равномерный закон распределения вероятностей погрешности

Все возможные случайные погрешности результата измерений,

ха­рактеризуемых равномерным законом, расположены в симметричном интервале (-Δ_m, Δ_m),

где Δ_m — максимальная погрешность.

Плот­ность вероятности равномерного закона распределения

Вероятность того, что случайная погрешность результатов измерений Δ находится в симметричном интервале (-Δ_г, Δ_г), определяют с помощью формулы

P(-Δ_г < Δ < Δ_г) = Δ_г/ Δ_m

Для равномерного закона рас­пределения погрешностей, сим­метричного относительно центра Δ = 0, расчет СКО случайной пог­решности для распределения плотности веро­ятности р(Δ) =1/(2Δ_m) выполняют по формуле

49

Таблица 6 - Значение интеграла вероятностей F(z) =

z	Ф(z)	z	Ф(z)	z	Ф(z)	z	Ф(z)
0,00	0,0000	0,70	0,2580	1,40	0,4192	2,25	0,4878
0,02	0,0080	0,72	0,2642	1,42	0,4222	2,30	0,4893
0,04	0,0160	0,74	0,2703	1,44	0,4251	2,35	0,4906
0,06	0,0239	0,76	0,2764	1,46	0,4279	2,40	0,4918
0,08	0,0319	0,78	0,2823	1,48	0,4306	2,45	0,4929
0,10	0,0398	0,80	0,2881	1,50	0,4332	2,50	0,4938
0,12	0,0478	0,82	0,2939	1,52	0,4357	2,55	0,4946
0,14	0,0557	0,84	0,2995	1,54	0,4382	2,60	0,4953
0,16	0,0636	0,86	0,3051	1,56	0,4406	2,65	0,4960
0,18	0,0714	0,88	0,3106	1,58	0,4429	2,70	0,4965
0,20	0,0793	0,90	0,3159	1,60	0,4452	2,75	0,4970
0,22	0,0871	0,92	0,3212	1,62	0,4474	2,80	0,4974
0,24	0,0948	0,94	0,3264	1,64	0,4492	2,85	0,4978
0,26	0,1026	0,96	0,3315	1,66	0,4515	2,90	0,4981
0,28	0,1103	0,98	0,3365	1,68	0,4535	2,95	0,4984
0,30	0,1179	1,00	0,3413	1,70	0,4554	3,00	0,49865
0,32	0,1255	1,02	0,3461	1,72	0,4573	3,10	0,49903
0,34	0,1331	1,04	0,3508	1,74	0,4591	3,20	0,49931
0,36	0,1406	1,06	0,3554	1,76	0,4608	3,30	0,49952
0,38	0,1480	1,08	0,3599	1,78	0,4625	3,40	0,49966
0,40	0,1554	1,10	0,3643	1,80	0,4641	3,50	0,49977
0,42	0,1628	1,12	0,3686	1,82	0,4656	3,60	0,49984
0,44	0,1700	1,14	0,3729	1,84	0,4671	3,70	0,49989
0,46	0,1772	1,16	0,3770	1,86	0,4686	3,80	0,499928
0,48	0,1844	1,18	0,3810	1,88	0,4699	3,90	0,499952
0,50	0,1915	1,20	0,3849	1,90	0,4713	4,00	0,499968
0,52	0,1985	1,22	0,3888	1,92	0,4726	5,00	0,499999
0,54	0,2054	1,24	0,3925	1,94	0,4738
0,56	0,2123	1,26	0,3962	1,96	0,4750
0,58	0,2190	1,28	0,3997	1,98	0,4761
0,60	0,2257	1,30	0,4032	2,00	0,4772
0,62	0,2324	1,32	0,4066	2,05	0,4798
0,64	0,2389	1,34	0,4099	2,10	0,4821
0,66	0,2454	1,36	0,4131	2,18	0,4842
0,68	0,2517	1,38	0,4162	2,20	0,4861

50

Плотность распределения случайных погрешностей:

1.16.4 Треугольный закон распределения вероятностей погрешности (закон Симпсона)

-Δ_m -Δ_г 0 -Δ_г Δ_m Δ

Треугольный закон распределения

Для треугольного закона вероятность того, что погрешность распо­ложена в интервале (-Δ_г, Δ_г), находят по формуле

Заштрихованная область на рисунке численно равна вероятности. СКО σ можно определить по формуле

Закон распределения погрешностей при числе измерений n ≤ 20 (закон Стьюдента) представлен на рисунке 6 и таблицей 5.

1.16.5 Закон распределения Стьюдента

Закон описывает распределение плотности вероятности p(t_x) для различных n

где среднее арифметическое значение n измерений величины

выступающее в качестве истинного значения;

Рисунок 6 - Графики и формулы закона распределения Стьюдента

51

Графики распределения Стьюдента p(t_x) для различных n и нормированного нормального распределения p_н(t_x) при t = t_x (дифференциальная функция).

При n→ ∞ среднее арифметическое становится математическим ожиданием, причем оно становится самостоятельной, несмещенной и эффективной оценкой истинного значения (среднего или математического ожидания).

Таблица 5- Значения коэффициента Стьюдента t

Число степеней свободы k = n - 1	Доверительная вероятность Р
	0,90	0,95	0,99
1	6,31	12,71	63,66
2	2,92	4,30	9,92
3	2,35	3,18	5,84
4	2,13	2,78	4,60
5	2,02	2,57	4,03
6	1,94	2,45	3,71
7	1,89	2,36	3,50
8	1,86	2,31	3,36
9	1,83	2,26	3,25
10	1,81	2,23	3,17
11	1,80	2,20	3,11
12	1,78	2,18	3,05
13	1,77	2,16	3,01
14	1,76	2,14	2,98