1.14. Погрешность измерений. Случайная составляющая погрешности измерений.

Случайная погрешность измерения Δ_сл - состав­ляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случай­ным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, про­веденных с одинаковой тщательностью, одной и той же физической величины.

В появлении таких погрешностей не имеется какой-либо закономерности, они проявляются при повторных измерениях в виде некоторого разброса полученных результатов.

Наличие случайных погрешностей и их значение определяют степень точности измерений.

Практически случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда имеют место в результате измерений.

Их описание и оценка возможны только на основе теории вероятности, методов математи­ческой статистики и положений теории информации.

Случайные по­грешности нельзя исключить из результатов измерений введением поправки.

Однако их можно уменьшить путем многократного изме­рения физической величины и последующей статистической обработ­кой полученных результатов.

Если не учитывать промахи, абсолютная погрешность измерения представляется суммой систематической и случайной составляющих

Это означает, что абсолютная погрешность, как и результат из­мерений, является случайной величиной.

43

1.15. Характер распределения случайной погрешности.

1.15.1 Случайная погрешность или ∆_сл – это составляющая погрешности измерения, которая изменяется в тех же условиях измерения случайным образом.

Случайная погрешность обнаруживает себя при многократных измерениях и при условии исключения систематических погрешностей.

Характер распределения случайных погрешностей – рассеяние результатов измерения относительно центра рассеяния, которым является условно истинное - действительное или среднее значения.

Рассеяние результатов в ряду измерений - несовпа­дение результатов измерений одной и той же величины в ряду равно­точных измерений, как правило, обусловленное действием случайных погрешностей.

Причины возникновения случайных погрешностей не поддаются изучению. Известно, что случайная погрешность образуется под действием множества причин, действующих одновременно и вызывающих рассеяние результатов в ряду измерений. Случайные погрешности могут иметь как положительное, так и отрицательное значения.

Случайную погрешность исключить из результата измерений нельзя, ее можно только лишь уменьшить при обработке результата многократных измерений методами математической статистики (теории вероятности).

1.15.2 Количественную оценку рассеяния результатов в ряду измерений вследствие воздействия случайных погрешностей обычно получают после введения поправок на действие систематических погрешно­стей измерений.

Оценками рассеяния результатов в ряду измерений ФВ могут быть:

- размах;

- средняя арифметическая погрешность (по модулю);

- средняя квадратическая погрешность или стандартное отклонение;

- доверительные границы погрешности (доверительная граница или дове­рительная погрешность).

Закон распределения случайных погрешностей – это всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной погрешности и соответствующими им вероятностями. При этом про случайную погрешность при измерениях говорят, что она подчинена определенному закону распределения погрешностей.

Для количественной оценки распределения вероятности исполь­зуют вероятность события

х - х_д < Δ,

где х_д — действительное значе­ние измеряемой величины;

Δ — текущая погрешность с заданной вероятностью.

44

Вероятность этого события зависит от погрешности Δ и является некоторой функ­цией Δ.

Функцию F(Δ) называют функцией распределения вероятно­сти (интегральной функцией распределения, интегральным законом распределения) случайной величины х

F(Δ) = Р(х – х_д <Δ).

Интегральный закон распределения отражает вероятность Р того, что случайная погрешность Δ находится в интервале от - ∞ до значения, меньшего граничного Δ_г

,

где p(Δ) — плотность вероятности.

Функция распределения вероятности является универсальной ха­рактеристикой и существует для всех случайных величин (погрешно­стей) — и дискретных, и непрерывных.

Некоторые свойства инте­гральной функции распределения формулируют таким образом: функ­ция F(Δ) определена так, что F (- ∞) = 0 и F (∞) = 1.

Дифференциальным законом распределения случайной пог­решности Δ или плотностью распределения вероятностей (коротко — плотностью вероятности) случайной

погреш­ности Δ называют функцию

p(Δ) = .

Числовые характеристики случайных погрешностей. Описание случайных погрешностей с помощью законов распределения р(Δ) или F(Δ) является наиболее полным.

Однако экспериментальное определение плотностей вероятности сопряжено с

определенными сложностями.

Вместе с тем во многих случаях не обязательно описы­вать погрешность полностью, а достаточно охарактеризовать число­выми параметрами лишь отдельные ее свойства. Такие параметры в математике называют числовыми характеристиками случайной вели­чины (погрешности) или моментами.

Часто погрешности вычисляют по числовым характе­ристикам: среднему значению х_ср (математическому ожиданию m₁ – начальный момент первого порядка)

для непрерывных случайных величин m₁= ,

для дискретных случайных величин х_ср = ,

и дисперсии D – центральному моменту второго порядка

для непрерывных случайных величин D = ,

для дискретных случайных величин D = .

45

Для характеристики рассеяния случайной погрешности в единицах измерения

используется среднее квадратичное отклонение (СКО) σ

для непрерывных случайных величин для дискретных случайных величин .

1.15.3 Доверительная вероятность соот­ветствует вероятности пребывания истинного (действительного) значения измеряемой физической величины в некотором случайном (доверительном) интервале значений от х - Δ_г до х + Δ_г

Р_д = Р ( - Δ_г ≤ Δ ≥ + Δ_г).

При определении доверительных границ (доверительных интервалов погрешностей) задают доверительную вероятность (если она не задана условиями измерительной задачи). Для некоторого за­данного или полученного закона распределения погрешностей вероятность Р_д однозначно зависит от границ погрешности и возрастает с их увеличени­ем.

Чем больше принятое значение Р_д , тем более надежно будет рассчитан интервал, но тем шире будут границы, т. е. надежность значений границ будет выше.

Для плотностей вероятности, описываемыми симметричными относительно начала координат зависимостями, нижнюю и верхнюю границы погрешности измерений выбирают также симметричными относительно начала координат (рисунок 5).

Доверительные границы в случае нормального за­кона распределения

(± tσ; ± tσ_ср),

43

где σ, σ_ср - средние квадратические отклонения соответственно единичного и среднего арифметическо­го результатов п числа единичных измерений;

t - коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р_д и числа измерений n.

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметическо­го результатов п числа единичных измерений вычисляют для дискретных случайных величин по формуле

.

Итак, для характеристики случайной погрешности надо обязательно задать минимум два числа — значение самой погрешности (или доверительные границы для нее) и доверительную вероятность.

1.15.4 Представление результатов измерений. Основной задачей любых измерений является извлечение с за­данной точностью и достоверностью количественной информации о ФВ. Поскольку измерения практически всегда сопровождаются появлением случайных погрешностей, то представление результатов измерений должна включать в себя действительное значение и довери­тельные границы, в которых находится ее истинное значение с заданной доверительной вероятностью (если не указано особо, то в метрологии подразумевается доверительная вероятность ).

При многократных измерениях окончательный результат записывают в виде при вероятности .

При однократных измерениях результат измерения записывают в виде

при вероятности

где – результат, зафиксированный СИ;

— суммарная погрешность измерения, определяемая классом точности

СИ (Δ_си) и методической погрешностью (Δ_мет), если случайная погрешность

,

где – случайная составляющая погрешности измерения;

– систематическая составляющая погрешности измерения.

Доверительные границы погрешности результата измерений (доверительный интер­вал) - наибольшее и наименьшее значения погреш­ности измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с за­данной вероятностью находится искомое (истинное) значение по­грешности результата измерений (рисунок 5).

47