4.4 Сплайновая интерполяция
Сплайн – это метод описания сложных кривых. Само слово пришло в обиход машиностроителей из высшей математики, а получило распространение среди производителей машин и оборудования после начала внедрения проектирования с использованием CAD систем высокого уровня. Все поверхности в твердотельных моделях описываются с использованием сплайнов.
Новое изделие начинает свой путь к потребителю с рабочего места конструктора. Все чаще для этих целей используются CAD/CAM системы. Подготовленная в CAM программа обработки поступает на станок с ЧПУ. Традиционные системы управления не имеют возможностей для полноценной обработки сложных криволинейных поверхностей. Они вынуждены заменять ее аппроксимацией линейными отрезками (в отдельных случаях удавалось сочетать прямолинейные отрезки и дуги).
На рис. 4.23 показано как строится сложная кривая в CAD системе и способы ее воспроизведения в традиционных системах ЧПУ (линейная аппроксимация или замена участками дуг).
Рисунок 4.23 – Пример аппроксимации кривой прямолинейными отрезками и дугами
Новые УЧПУ от фирмы SIEMENS позволяют отказаться от этих суррогатных решений. В функции видов перемещения были введены сплайны. УЧПУ имеет три вида сплайнов и задание кривых с помощью полиномов.
ASPLINE
A-сплайн (Akima spline) проходит точно через заданные точки. Он позволяет построить кривые через 6 смежных точек. Однако при резком изгибе кривизны непрерывная кривая не создается.
Главная область применения A-сплайна – это проход через точки, полученные от измерительной машины или от аналогичных устройств.
Рисунок 4.24 – Построение A-сплайна через заданные точки
BSPLINE
С этими сплайнами запрограммированные точки служат контрольными для создаваемой кривой. Кривая только прилегает к этим точкам, а не проходит напрямую через них. BSPLINE применяется для аппроксимации рельефных поверхностей.
Создаваемая BSPLINE кривая всегда касательна в начальной и конечной точках сплайна. Дополнительные параметры (вес), задаваемые в кадре, оказывают влияние на создаваемую кривую. Они могут быть запрограммированы для каждой интерполяционной точки.
Вес задается в программе инструкцией: PW= n, где n изменяется в диапазоне от 0 до 3 с шагом 0,0001. При n>1 кривая сильнее притягивается к контрольной точке, а при n<1 слабее.
Рисунок 4.25 – Пример аппроксимации с использованием BSPLINE
CSPLINE
Кубический сплайн CSPLINE представляет собой непрерывную кривую, проходящую через заданные точки, как показано на рисунке 4.26. Эти сплайны можно использовать для задания точек, расположенных вдоль аналитически вычисляемой кривой. Кубический сплайн представляется полиномом 3-й степени.
Дополнительные параметры, влияющие на характер прохождения первой и последней точки сплайна, могут задаваться только для А и С сплайнов. Они объединены в две группы по три команды в каждой.
Рисунок 4.26 – Пример использования CSPLINE
Программирование сплайновой интерполяции
Рассмотрим для примера профиль обработки в виде части синусоиды от 0 до 180º, показанный на рисунке 4.27.
Рисунок 4.27 – Профиль для сплайновой интерполяции
Программа интерполяции
N5 G0 Х0 Z0 Выход в исходную точку
N10 CSPLINE Х0 Z0 Начало задания сплайна
N15 Х50 Z30 Задание участка кривой
N20 Х86.6 Z60 – « –
N25 Х100 Z90 – « –
N30 Х86.6 Z120 – « –
N35 Х70.7 Z135 – « –
N40 Х50 Z150 – « –
N45 Х0 Z180 – « –
N50 М2 Окончание программы
Использование полиномов
Еще одним способом построения сложных кривых является использование полиномов: f(p)=a0 + alp + а2р2 + аЗр3.
К таким кривым, которые описываются полиномами, относятся параболы, гиперболы, круги и эллипсы.
Пусть, например, задан эллипс (рис. 4.28).
Рисунок 4.27 – Пример построения эллипса с помощью полинома
Программа обработки по его контуру:
N5G90 G18 G0 Х5 Z0 Выход в исходную точку
N10 POLY РО[Х]=(0,-5) PO[Z]=(10) PO[]=(2,1) F100
N15 POLY РО[Х]=(-5) PO[Z]=(0,-10) РО[]=(2,1)
N20 POLY PO[Х]=(0,5) PO[Z]=(-10) PO[]=(2,1)
N25 POLY PO[Х]=(5) PO[Z]=(0,10) PO[]=(2,1)
N30 М2
При контрольном прогоне приведенной программы отклонение координат от теоретически рассчитанных было в пределах 1-2 мкм.