1. Одномірне перетворення Фур’є

Пряме Фур’є-перетворення (Фур’є-образ) F(u) неперервної функції однієї змінної f(x) визначається рівністю

(5.1)

де i - уявна одиниця ( = -1). Навпаки, за заданим фур’є-перетворення F(u) можна отримати вихідну функцію f(х) за допомогою зворотного перетворення Фур’є:

(5.2)

Ці перетворення складають пару перетворень Фур’є, а вхідні в них функції утворюють фур’є-пару. Звернемо увагу на той важливий факт, що знаючи фур’є-образ можна отримати вихідну функцію. Зазначені перетворення можна легко поширити на функції двох змінних:

(5.3)

і, аналогічно, для зворотного перетворення

(5.4)

Оскільки нас цікавлять дискретні функції, ми не будемо тут докладно зупинятися на цих рівностях.

Фур’є-перетворення дискретної функції однієї змінної f(x), x= 0,1,2,...,М-1, задається рівністю

(5.5)

Це (пряме) дискретне перетворення Фур’є (ДПФ) лежить в основі всіх розглядів даної лекції. Як і раніше, за заданим фур’є-перетворення F(u) можна відновити вихідну функцію за допомогою зворотного ДПФ:

(5.6)

Множник 1/М іноді ставиться у формулі, яка визначає зворотне, а не пряме, перетворення Фур’є. Рідше обидві рівності містять множник . Місцезнаходження множника не має значення. Єдина вимога при використанні двох множників полягає в тому, що їх добуток має дорівнювати 1/М. При всій своїй важливості, наведені формули є, насправді, дуже простими.

Обчислення дискретного перетворення Фур’є, таким чином, вимагає додавань і множень (зменшення числа необхідних операцій є важливим питанням). Як і початкова функція f(x), фур’є-образ є дискретною величиною і містить ту саму кількість компонент (елементів). Аналогічні зауваження слід віднести і до обчислення зворотного перетворення Фур’є.

Важлива особливість дискретних перетворень полягає в тому, що, на відміну від неперервного випадку, тут немає необхідності піклуватися про існування ДПФ і зворотного до нього. Дискретне перетворення Фур’є та його обернення завжди існують. Щоб переконатися в цьому, достатньо підставити одну з двох рівностей (5.5), (5. 6) в іншу й використати ортогональність експоненціальних членів. Отримана в результаті тотожність вказує на існування обох функцій. Зрозуміло, питання про те, що відбувається у випадку, коли функція f(x) приймає нескінченну кількість значень, залишається відкритим.

Поняття частотної області прямо випливає з формули Ейлера:

(5. 7)

Підставляючи цей вираз в (5.5) та використовуючи парність косинуса і непарність синуса , отримуємо

(5.8)

Таким чином, ми бачимо, що кожен елемент фур’є-перетворення (тобто значення F(u) для кожного значення і) складається з суми всіх значень функції f(x). Значення функції f(x), в свою чергу, множаться на синуси і косинуси різних частот. Область значень змінної u, на якій приймає свої значення функція F(u), природно назвати частотною областю, оскільки значення змінної u визначає частоти доданків, що складаєть перетворення. (Значення змінної х також впливають на частоти, але оскільки по цій змінній проводиться підсумовування, цей вплив однаковий для всіх значень змінної u). Кожний з М елементів функції F(u) називається частотною компонентою перетворення. Використання термінів частотна область і частотні компоненти по суті не відрізняється від використання термінів часова область і часові компоненти, якими ми будемо позначати область визначення i значення функції f(х) у разі, коли х - часова змінна.

Корисна аналогія виникає під час порівнянні перетворення Фур’є зі скляною призмою. Призма являє собою фізичний прилад, який розкладає світло на різні кольори залежно від довжини (частоти) електромагнітних хвиль його складових. Перетворення Фур’є можна уявляти собі як свого роду «математичну призму», яка також розкладає функцію на різні складові в залежності від її «частотного вмісту». Розглядаючи світло, ми говоримо про його спектральному складові. Аналогічно, перетворення Фур’є дозволяє нам описати функцію за допомогою сукупності складових її частот. Це і є та глибока ідея, яка лежить в основі методів лінійної фільтрації.

З рівності (5.5) або (5.2-8) видно, що елементи фур’є-образу в загальному випадку є комплексними величинами. Як і у випадку комплексних чисел, значення F(u) зручно іноді виражати в полярних координатах:

, (5.9)

де величини

(5.10)

називаються модулем або спектром фур’є-перетворення, а величини

(5.11)

називаються фазою або фазовим спектром перетворення. У формулах (5.10) і (5.11) величини R(u) i I(u) означають дійсну та уявну частини величини F(u), відповідно. При обговоренні кола питань, пов’язаних з покращенням зображень, нас в першу чергу будуть цікавити властивості спектра. Іншою величиною, що також використовується, є енергетичний спектр, який визначається як квадрат фур’є-спектра:

(5.12)

Поряд з терміном енергетичний спектр використовується також термін спектральна густина.

Приклад 5.1. Фур’є-спектри двох простих одновимірних функцій

Перед тим як рухатися далі, корисно розглянути простий одновимірний приклад ДПФ.

Рис. 5.2. (а) Дискретна М-точкова функція і (б) її фур'’є-спектр; (в) дискретна функція з подвоєним числом ненульових значень і (г) її фур’є-спектр

На рисунках 5.2 (a) і (б) показані функція та її фур’є-спектр відповідно. І функція f(х), і її фур’є-образ F(u) є дискретними, однак на графіках точки з’єднані між собою для покращення зорового сприйняття. В обговорюваному прикладі М=1024, А=1, і К - всього лише 8 точок. Зауважимо також, що центр спектру знаходиться в точці u=0. Як показано в наступному параграфі, це досягається множенням функції f(х) на перед обчисленням перетворення. На наступній парі рисунків (в) і (г) зображені функція і фур’є-спектр для випадку К=16 точок. Відзначимо наступні важливі властивості: (1) при збільшенні вдвічі площі під кривою в просторовій області висота спектру подвоюється; (2) при збільшенні вдвічі розміру носія функції кількість нулів спектру в заданому інтервалі подвоюється. Цей характерний взаємозв'язок функцій, що утворюють фур’є-пару, найбільш корисний під час інтерпретації результатів обробки зображень в частотної області.

Нехай тепер функція F(х), х= 0,1,2, ..., М-1, що входить в дискретне перетворення (5.5), є послідовністю відліків свого неперервного аналога. Важливо мати на увазі, що ці розрахунки не зобов’язані завжди відповідати цілим значенням х в інтервалі [0, М-1]. Вони вибираються в точках, що знаходяться на рівних відстанях одна від одної, причому положення першої точки довільне. Ця перша (довільно розташована) точка послідовності зазвичай позначається . При цьому перший відлік (перше значення дискретної функції) є f( ). Наступний відлік, узятий на заданій відстані від першого, є f( + ) k-ий відлік є f( + ), і, нарешті, останній відлік є f( + ). Таким чином, вираз f(k) розуміють в дискретному випадку як більш короткий запис виразу f( + ). При цьому запис f(х) означає

(5.13)

коли ми маємо справу з дискретними змінними. Змінна u допускає схоже тлумачення, з тією лише різницею, що послідовність частот завжди починається з нуля. Таким чином, змінна u приймає послідовно значення 0, . Далі, запис F(u) розуміють як

(5.14)

Така коротка форма значно спрощує запис і полегшує розуміння.

Величини і обернено пропорційні,

, (5.15)

що не дивно, беручи до уваги взаємозв’язок функції та її фур’є-перетворення, що проілюстровано на рис. 5.2. Ця залежність виявляється корисною у випадку, коли інтерес представляють лінійні розміри деталей оброблюваного зображення. Наприклад, в додатках, пов’язаних з електронною мікроскопією, сусідні відліки зображення можуть знаходитися на відстані 1 мікрон, і деякі частотні характеристики (такі як амплітуди частотних складових) можуть мати відношення до внутрішньої структури досліджуваного зразка.